Math | 生命之旅

是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间等概念的一门学科。

麻省理工学院将2020年的本科生课程《线性代数入门》课程放上了网，一共6个视频。教师是 Gilbert Strang 教授，他是最畅销的线性代数教材的作者，已经85岁了，还在给本科生讲课。

财政部最近下发了一个文件，使用 arctan 函数调节国有金融企业的工资总额。这个函数到底有什么特别之处？

Why

做什么决定，可以用数学算出来

我们人类历史上有各种勾心斗角的故事，比如三国演义中著名的空城计，就是诸葛亮和司马懿两个人的一次精彩较量。另外，我们平时打扑克，也能用到各种见招拆招和相互震慑这样的花招，着实让人感叹博弈的复杂和精妙。但你知道吗，这些看起来复杂的博弈行为，在数学上是可以预测的，这门描述人与人之间相互博弈的科学就叫博弈论。最近，科普达人卓老板卓克，就在《卓老板聊科技》这个专栏里，跟大家介绍了关于博弈论，你所不知道的那些事儿。

关于博弈论，有个著名的案例，叫囚徒困境，这个你一定听说过。就是两个囚犯，全部招供，那每人判两年；都不招，那就都无罪释放；而如果一个人招而另一个人没招的话，那招的人判一年，没招的人判三年。这俩囚犯最终怎么选？虽然都不招符合他们的最大利益，但最可能的结果是，他们两人都招了，然后各蹲两年。你看，这就是博弈论，每个人都会想着自己的最大利益。

博弈论在我们身边其实有很多案例。比如冷战时期，美苏之间相互都不信任对方，还怀疑对方在发展大规模的核武器。如果你以囚徒困境的方式来分析美国和苏联，就会发现对他们各自而言，秘密地发展核武器是最符合自身利益的。你看，这就解释了为什么当时冷战时期会发生美苏之间大规模的军备竞赛。

听到这里，你可能会觉得，原来博弈论就和谋略没什么区别嘛。你这么想就错了，博弈的情形远比我们刚刚看到的复杂得多，其中可能涉及多方博弈，各自的利益也可能不同。不过，不论对于什么形式、多么复杂的博弈，就算人脑想不清楚了，但根据博弈论严格的数学推导，就不仅能知道在这些情形下的最优策略，还能知道该以多大的概率来采用这些策略。

举个例子。咱俩通过猜硬币赌钱，我放出硬币，你来猜硬币正反面。如果你猜错了，你就给我一块钱，猜对了，我就给你一块钱。看上去，这个游戏没什么意思，我只要随机放出硬币正反面就行了。但如果规则稍微变一点，博弈论就派上用场了，比如咱们这么玩：如果你猜错了，你还是给我一块钱。但如果你猜对了，而且你猜对的是反面，那我就依然给你一块钱。但如果你猜对了，而且猜对的恰好是正面，那我就要给你一百万。

你看，这个时候，最优的博弈策略又是怎样的呢？相信你也看出来了，这规则对我太不公平了，只要被你猜对一次正面，之前你猜错100万次都可以一把全拿回去，所以我的最佳策略肯定是不断出反面，就算损失也只损失一块钱。而你呢，也会猜到我会这么做，也会不断猜反面。所以结果就是，我一块钱一块钱地给你。但怎样做才能稍微挽回一些我的损失呢？博弈论的分析告诉我们，我可以在适当的时候放出正面，赌你不会突然转变策略刚好猜中这次例外，就能稍微赚回一些钱。不过用数学分析的方法算一下，我采取这种策略的概率非常小，大约是一亿分之2。具体怎么算的，咱们就不细说了，非常复杂。

实际上，像打扑克炸金花、美苏军备竞赛这些，博弈不论大小，都可以通过数学来分析出最优策略。虽说这些都是人与人之间的博弈，但正经的博弈论绝不是什么心理游戏或者人性分析，这其中博弈双方是否有意识甚至都是不重要的。将人与人之间的博弈数学化是一门很复杂的学问，首先要将博弈各方的利益量化。比如日常生活中，我们对于各种不同的结果心里会有个谱，哪个重要哪个不重要等等。当把博弈本身量化以后，博弈就成了数学问题。在数学上将这些数字填进一个专门的表中，再将一些数学过程作用在这些数字上，最优的策略就会被计算出来了。

你看，即使是博弈这么复杂的人类行为，利用数学工具依然可以对它们进行描述和预测，甚至比我们基于经验作出的谋略还要高明。很多时候，数学计算这样的理性工具，比我们的感性决策要准确得多。

本文源自：“得到”App “卓老板聊科技”
稿：李程远澳大利亚麦考瑞大学学者

击溃数学“无用论”

上学的时候，很多人都有过疑问，为什么要学数学呢？大部分数学知识一辈子都用不到啊。最近有本新书叫《魔鬼数学》，它告诉我们，学习数学当然有用，它能锻炼我们的逻辑能力，帮我们透过现象看本质。

就拿一个生活里常见的逻辑陷阱来说吧，这个陷阱叫幸存者偏差。

举个例子。二战时，美军想给战斗机装上装甲，但又怕影响飞行速度，所以就想把装甲装在飞机最需要防护、受攻击概率最高的部位，那装哪儿呢？他们发现，从战场回来的飞机，机身上的弹孔比引擎上多得多，所以决定，在机身上披装甲。但一位数学家说，恰恰相反，应该给弹孔最少的引擎披装甲，为什么呢？因为回来的飞机引擎中弹少，说明凡是引擎中弹的飞机全坠毁了。你瞧，数学上的逻辑训练，让他一眼就透过现象看到了本质，而前面军人犯的错误，就叫幸存者偏差。

再举个例子，基金行业会对外宣布，过去10年，基金行业的整体收益率超过100%，你是不是觉得买基金肯定赚翻了？实际上，如果你懂数学，你就能发现有问题：基金行业统计的，全是现在市场上活着的基金，那些不赚钱死掉的，都没算进去。如果把死掉的那些也考虑进去，那基金的整体收益率其实很一般。瞧，这也是一种常见的幸存者偏差。

所以，学数学能让你得到透过现象看本质的能力，下次如果有人说：“我亲戚的病就是中医看好的，所以中医很灵验”，那你现在知道了这也是一种幸存者偏差。

本文源自：大师告诉你，学习数学有什么用

What

奇妙的 1/89

华氏度与摄氏度的简单估算

华氏度与摄氏度的转换，有一个简单的估算方法。有三个华氏度，颠倒个位数和十位数，约等于对应的摄氏度。

40 华氏度 = 04 摄氏度
61 华氏度 = 16 摄氏度
82 华氏度 = 28 摄氏度

因此，记住这三个数字（40、61、82），就可以简单估算。比如，71 华氏度介于 61°F 和 82°F 之间，所以对应的摄氏度大约介于16°C和28°C之间。

傅立叶变换的交互式介绍（英文）

通过一系列动画，解释什么是傅立叶变换。

Mathematical Symbols

这个网页列出各种数学符号的含义。

如何使用线性代数进行几何变形（英文）

作者在网页上给出直观的、可以互动的演示，展示几何变形与线性代数之间的关系。

Snip

将打印的数学公式转成 LaTex 代码的工具。

二元一次方程的新解法（英文）

古代巴比伦人在4000年前，就发现了一元二次方程的求解公式（上图）。本文提出了一种新解法，可以简化这个公式的推导过程。

机器学习算法的最低数学要求（英文）

机器学习对数学要求比较高。本文总结了需要掌握的最低限度的数学模型。

傅里叶变换交互式入门（中文）

通过一系列互动图形，直观介绍傅里叶变换的含义，基本没用数学公式。

罗胖60秒：什么是“数学精神”？

得到大学北京班的马宁同学是一个数学老师。有一天他问了我一个问题：请问，以下哪种对葡萄酒的分类方式，是符合数学精神的？

第一种，是按照葡萄酒生产的年份。第二种，是按照产地。第三种，是按照葡萄的种类。你看，数学老师出的题，居然没有一个数字。那哪种分类好呢？

马宁老师是这么解释的。如果按照葡萄的种类来分类，那请问世界上有多少种葡萄啊？不是很清楚。所以这个方法不好。那按照葡萄酒生产的年份呢，看起来很整齐，但是这没有什么意义，因为分好类了，知识没有什么扩展性，所以价值也不大。
那就只剩下最后一种了，就是按照葡萄酒的产地来分类。为什么这是最好的分类？因为它既不会漏，也不会重，而且一旦叠加上其他维度，比如文化，就可以衍生出新知识。
这就符合了数学精神。数学精神不只是严谨，更重要的，是知识可以扩展。

教育：中美数学教育的区别

微信公众号“知识分子”刊登了一篇对美国奥数总教练罗博深的采访。罗博深是卡耐基梅隆大学的数学教授，现在是国际数学奥林匹克竞赛美国队的总教练。

罗博深是一位华裔、会讲中文，也经常到中国的中学做演讲，希望把自己的数学教育方法带到中国。在被问到中国数学教育和美国数学教育的区别时，罗博深回答说，其实主要是文化的区别，中国注重练习，而美国注重思考。

在中国，大家认为学数学是必须的，不会有人说不需要学数学。而且，中国很注重考试，从小学到初中、初中到高中，再到高考，数学都很重要。

考试都是可以准备的。因为每个考试都会有固定的套路，研究历年的考试题目，就能大概知道今年考试可能会有什么内容，可以通过大量做题，练习解题的方法，从而在考试中拿到高分。在这套学习方法中，练习要比思考重要。

但是在美国，进入初中或者高中不需要考试，进入大学也没有统一的考试。没有了考试，学生的重点就转到了思考上，思考创造新的题目、提出新的想法，而不是大量练习已有的数学题目的解法。因此，美国的数学教育主要锻炼的就是学生的思考能力。

在罗博深看来，练习和思考都很重要。他在美国学数学，开始时用的是美国的方法，喜欢去思考新问题，但是在读博士时，就被导师批评说，不要每一道题目都重新想新的方法，还是要去学习已有的解题方法。想和学结合起来，就是同时发展想象力和扎实的基础。

罗博深认为，奥数题目其实就是想和学结合起来的。因为奥数题目都比较怪，很难提前准备。所以，最好的方法就是，大量做奥数题目，但是不要按照固定的方法和套路，去锻炼思考能力，而不是按照老师教给的方法去解题。

总之，美国奥数总教练罗博深教授认为，中国的数学教育强调的是练习，而美国强调的是思考，最好的方式是把这两种方法结合起来，通过练习建立扎实的基础，但也重视发展想象力。

罗胖精选 | “等号”里的数学思维

和你一起终身学习，这里是罗辑思维

今天的“罗胖精选”是来自于另外一个App叫「少年得到」，注意啊，不是「得到」，是「少年得到」，这个App你需要重新下载。也是上面的一个付费订阅专栏，林欣浩老师的《数学有意思》。

这课程研发出来之后，我推荐给我很多朋友听。他们听过之后，通常会有两个感慨。第一，数学课居然可以用音频上，不用写公式的。第二，我原来以为我是学过数学的，但现在才知道，原来我不懂什么是“数学思维”。我要把它推荐给我的，和我朋友的孩子。

好，我们接下来一起听一听，林欣浩老师是怎么讲解数学中非常基础的符号“等号”的。

摘自「少年得到」App《林欣浩·数学有意思》

数学有意思3:等号

你好，我是林欣浩。

今天我来跟你讲一下，等号这个概念是怎么来的。

在前面，我们讲过离散和连续的概念。人类在最早没有理性思维的时候，对这个世界的认识是混沌一团的，是模模糊糊的。后来，人类慢慢产生了理性思维，才会产生语言，才会产生思想。我们详细讲一下这个过程。

比如说有一只猴子，它没有理性思维，它的生活凭的就都是本能，它靠本能知道什么时候吃，什么时候睡。结果有一天，这只猴子进化了，变成猿人了，头脑中渐渐有了理性思维，开始去思考这个世界了。这个时候，他就要用理性的语言把思考的结果告诉自己的后代。

比如说他发现人生中有一个非常重要的事，苹果可以吃，石头不可以吃。那他就把他的孩子叫过来说，“你看，这是苹果，这能吃；这是石头，这可不能吃啊。”那个孩子点点头说，“啊，这个能吃，这个不能吃。”在这一瞬间里，这个小孩他的头脑中已经产生了一个非常重要的概念，叫做“比较”，或者叫“分辨”。

这个小孩之所以能够学到苹果可以吃的人生经验，前提是，他必须能分辨出什么是苹果，什么是石头。一个苹果，一个石头，这两个东西差不多大小，但是小孩拿过来一比，一个是红色的、是软的，一个是黑色的、是硬的，他比出来了，他才能知道哪个能吃，哪个不能吃。

也就是说，只有先比较出了不同，我们才能知道，这个东西和那个东西不一样，我们人类才能给这些东西命名，我们才能用语言去谈论它们。所以，我们可以说，比较是人类产生理性思维的一个前提。如果没有比较，东西和东西之间没有分别，那世界就还是连续的，还是模糊一团的。

前面我们说的是，比较这个概念是理性思维的基础。那我问你，比较又是在干什么？比较是在发现这两个东西之间的相同和不同，所以一旦有了比较的概念，就有了相同和不同的概念。

这个相同的概念非常重要，我们在前面说过，原始人在学会数水果之前，必须先把不同的水果给抽象成是一样的，这个抽象成是一样的，用我们现在的话说，就是通过比较，认为这些水果都是相同的，就相当于拥有了“相同”的概念。而相同的概念放到数学里面是什么呢？就是等于，所以，这里就诞生了“等于”的概念。

用一句话总结一下，我们刚才说的是，数学里的等号它不是凭空规定出来的，它是我们用比较的眼光去看待这个世界后，自然而然的结果。

我们现在知道了，等号是比较的结果。

但是这事还没那么简单，我们还得继续往深里想。我们在做比较这件事的时候，其实它还暗含了一个前提，叫做我们“比的是什么”。

我举一个例子，父母管教我们的时候，有一个口头禅，叫做别人家的孩子。有的父母会说：你看看别人家的孩子，学习比你好，还比你听话，你好好跟人家学学。我们听了就很不服，我们会说：那有什么了不起的，我打游戏还比他好呢，我踢球还比他好呢。父母就会说了，你就会拿这个跟人家比，你怎么不跟人家比比学习成绩呢？

在这里，我们跟父母争论的是什么呢？我们和父母都在拿我和别人家的孩子比，但是我们比的东西不同，父母比的是学习成绩，我们比的是打游戏，踢足球。

那你说在这里面，我们和父母谁错了呢？谁都没有错。这两种比法都是对的。因为我们每个人都有很多的属性，我们只是挑出了其中的一个去比较，我们比较的属性不同，得出的结论当然也是不同的。

好，那接下来的问题是，那到底应该挑哪个属性去比较呢？答案很简单，关键是我们打算通过比较去解决什么问题。

我们在谈论考试的时候，我们比的当然是学习成绩；我们在足球场上，比的当然是踢足球的水平。说白了，我们要比较的是关键属性。所以，人类在开始比较之前，还有一件事要做，就是决定哪些属性是关键的，是需要比较的；哪些属性不重要，不需要比较。

这就是我们和父母分歧的关键，我们是在和父母争论，我和别人家的孩子谁好吗？其实不是的。父母并不在乎你跟别人家的孩子谁好，谁在乎别人家的孩子呀？父母和你争论的其实是什么东西对你的自我评价最重要，是学习最重要，还是踢球最重要。

我们前面说了一大堆话，我总结一下，就是一句话，数学里的等号是来源于比较，而比较的前提是先确定哪些东西最重要。

所以，当我们在数学里面写下一个等号的时候，这一瞬间，我们其实做了一个非常重要的判断，我们在当众宣布，“我”认为哪个东西最重要。比如，当我们在纸上写上1+1=2的时候，这说明，我们关心的是数量，其它的属性我们不在乎。

就好像原始人在数苹果的时候，只关注苹果的数量，苹果的大小、颜色都不重要。在几何里，我们说，两个三角形全等。我们的意思是，我们只关注这两个三角形的大小和形状，它们在空间里的位置不重要。当我们学加法交换率的时候，说1+2=2+1，这意味着我们认为加法的数量结果重要，加法的先后顺序不重要。

所以可以说，数学里的等号其实有特别大的权力。当我们说两个数学量相等的时候，实际上就等于向所有接受这套数学规则的人宣布，从现在开始，我们就讨论这个因素，别的因素我们不讨论，因为它不重要。

好，总结一下，今天你学到了哪些关键知识点：

第一，理性思维的前提是比较，数学中的等号可以看成是比较的结果。

第二，数学里的等号非常重要，当我们说出两个东西相等的时候，已经暗含了一个重要的判断，判断什么东西对我们是重要的，什么不重要。这个判断的过程其实就是我们常说的抽象。

现在给你留一道思考题：我们刚才说，宣布两件事情相等是一个巨大的权力，这个权力不止存在于数学里，在我们的生活中也是一个巨大的权力。

比如在我们的眼里面，看漫画和看漫画是不一样的，有的漫画思想深刻，有的漫画很肤浅；玩游戏和玩游戏也不一样，有的游戏艺术价值非常高，有的游戏就很平庸。

可是在一些大人的眼里面，看漫画和玩游戏都一样，都叫做浪费时间，这些游戏和漫画之间是划等号的。这个等号的背后，其实包含了非常重要的价值判断，我们和父母的很多冲突都来自于这个等号。

在你的生活中，还能发现类似的例子吗？你可以把你的想法在文稿下面的留言区里留言。

下一集我们讲一个奇怪的概念，叫做无穷大。

好，感谢你的收听，我们下集再见。

数学与音乐

作者：海甜

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学，符号体系的使用使数学具有高度的抽象性。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术，它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。从表面上看，音乐与数学是“绝缘”的，其实不然。那数学与音乐有什么关联吗？为了回答这个问题，有必要先来介绍一下“音乐数”。

声音是否悦耳动听，与琴弦的长短有关。弹琴时，手指在琴弦上移动，不断改变琴弦的长度，琴就会发出高低起伏、抑扬顿挫的声音。如果是三根弦同时发音，只有当它们的长度比是3∶4∶6时，声音才最和谐、最优美，于是人们便把3、4、6叫做“音乐数”。它是在2500年前由古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现的。

有一天，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，被里面传出的高高低低、富有节奏的打铁声所吸引，于是他走进铺子，细心观察，发现音响的和谐与发声体体积的比例有关。回家后，他又在琴弦上做了很多次试验，寻找琴弦发声协调动听的规律，最终发现了音乐数。同时他还进一步发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1∶2产生八度，2∶3产生五度，3∶4产生四度等。继而发现弦的每一和谐组合都可表示成整数比，按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶。例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C。由此他认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”

数学与音乐的交响诗从此唱响，千百年来让无数人流连陶醉。比如：乐器之王——钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成两组，一组有两个黑键，另一组有3个黑键，2、3、5、8、13恰好就是数学史上著名的斐波拉契数列中的前几个数。此外，乐谱的书写表现数学对音乐的影响也非常显著。在乐稿上，我们看到书写乐谱时确定每小节内的音符数，与求公分母的过程相似。作曲家创作的音乐在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体。

也正因为如此，研究音乐和数学的关系在西方一直是一个热门课题。现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行过大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯创立了“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类似于数学公式，如《S+/10-1.080262》为10件乐器而作，于1962年2月8日计算而得。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点，他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和。根据这些研究，人们已经充分认识到音乐家和数学家在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用。

J．J西尔威斯特曾经问道：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？”这实际上是对音乐和数学联系的间接描述。数学是对事物在量上的抽象，而音乐是对自然音响的抽象，我们所提到的两者的关联，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起。因此德国著名哲学家、数学家莱布尼茨说：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”

数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间，音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花，它们的美交相辉映。
罗胖曰：

如果你没到一分钟就看到这里了，坏消息是——

你和我一样，是个“文傻”，对数学话题无感。

文傻不要紧。（呃，其实真相是——要紧也来不及了。）

好消息是——

你明知道今天的文章是和数学有关，居然还回复了关键词，说明你至少有好奇心。

未来不属于理科生或者文科生，未来属于咱们有好奇心的人。嘿嘿。

数学家：向前探索以对抗消沉

青年数学家许晨阳是中国最好的数学家之一，他在2017年获得了“未来科学大奖-数学与计算机科学奖”。许晨阳接受《人物》杂志采访时表示，在数学领域中那种灵光一现的天才时刻是很少见的，更多的是靠数学家们充分全面的知识积累。

罗格斯大学数学系副教授王晓玮和许晨阳合作过很多次，他们合作的大部分时间里，一个问题通常都要讨论一年半载。王晓玮说：“就像面对一个圆柱体，上面看是圆的，侧面看是方的。你可以朝着一个方向持续轰撞，直到把它撞穿；也可以把它上下前后左右绕一圈，全看透了，找到薄弱的那一块，捅破于一瞬。”但是这样的时刻太少了。如同数学家蒂莫西·高尔斯的比喻，“数学中绝大多数影响深远的贡献，是由‘乌龟’而不是‘兔子’们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。”

许晨阳觉得数学家大多数时候都是depressed（消沉的）。“就像拍电影一样，有的人七八年才拍一部电影，王家卫导演就是这样的。有的人就像伍迪·艾伦一样，每年都拍一部，即使拍得不太好他也拍，作为对自己的一个锻炼，让自己保持在高水平的一个线上。”保持活力，一直不断地向前探索，是许晨阳对抗消沉的一种办法。

许晨阳认为，一个人能够一直做数学，肯定不只是靠着一种做出题目的成就感，而是在这个过程中，发现了美好的东西，“大自然那么美好，如果能把这些事物表达成简单的形式，那会是一件多么美好的事情。”

数学家：奥数与数学研究

1981年出生的许晨阳是中国最好的数学家之一。他在2016年获得了数学领域的重要奖项拉马努金奖，2017年获得“未来科学大奖-数学与计算机科学奖”。在未来科学大奖的颁奖现场，许晨阳说，中国的奥数是世界一流水平，但数学研究并不是世界一流水平，世界一流水平仍然是美国、法国和俄罗斯这样的国家。

在许晨阳看来，学奥数就像练短跑一样，并不是每个人都需要练短跑。因此，奥数不见得是全民数学教育的基础一环。他认为，如果孩子不喜欢奥数，不一定非要强迫孩子去学。不过，家长一定要给孩子提供这个选择，因为奥数可以让喜欢数学、有数学天赋的孩子参加，并且互相交流。相比之下，数学研究更像是长跑甚至马拉松，它需要几代人的积累。因为历史上数学研究停止的原因，中国现在还不是世界一流水平。

许晨阳还解释了数学和未来的关系。许晨阳说：“数学跟未来关系很奇妙，数学有的时候像是人类在开拓未知边界，跟实际生活什么时候联系上，这是很难讲的事情。”他举了一个例子：1854年德国数学家黎曼提出了一种新的几何学理论黎曼几何，它在很长一段时间内只是数学理论。但是，等到1915年爱因斯坦发现广义相对论的时候，爱因斯坦发现，他需要的数学理论，正好是黎曼在60年前准备好的数学理论。爱因斯坦的强项不是数学，如果没有黎曼几何，可能就没有广义相对论。

总之，数学研究是在开拓人类未知的知识边界，而中国虽然奥数很强，但还不是数学研究的一流大国。

观点：数学的答案是不知道的

12月3日，有着“科学界奥斯卡”之称的科学突破奖（Breakthrough Prize）在美国揭晓，这个奖项主要表彰在生命科学、基础物理和数学等领域做出突出成就的研究者。数学家恽之玮、张伟获得了数学领域的“新视野奖”。恽之玮、张伟是北大数学系2000级的毕业生，目前分别在耶鲁大学、麻省理工学院任教。澎湃新闻对他们进行了采访。

恽之玮、张伟可以说是北大数学的“黄金一代”，他们都曾是奥数比赛中的佼佼者。恽之玮是2000年第41届国际数学奥林匹克竞赛的满分金牌得主。两个人在采访中都肯定了奥数能够锻炼数学能力，但这种能力只是成为数学家的一小部分。实际上，奥数和真正的数学科研之间差得很远。恽之玮说：“奥数的答案是知道的，数学科研的答案是不知道的，是探索的过程。真正的数学并不是在规定的时间快速给出答案。”张伟补充说：“其实通常在一个比较慢的节奏里，反而能思考哪些地方是前人忽略过的。”

作为前辈，他们也经常被师弟师妹问同一个问题，那就是怎么确定自己适合走数学这条路？恽之玮认为，数学的兴趣一般会发生得很早，“因为这个学科不需要什么基础，小学就接触了。经过这么长时间的接触，你还是不敢确定的话，一般就是不感兴趣”。如果是这个情况，恽之玮的建议是不要走数学这条路。

另一种情况是对数学非常感兴趣，但不确定自己未来会不会做出成就，或者把数学作为谋生手段。恽之玮说：“这个我个人感觉不用想那么远，就走一步看一步。我想现在社会，谁也没有说我就认定一个职业，我一定一辈子就做同样的职业。在任何时候你要换一个方向应该都是有机会的。我们在做教授之前，也没有什么保证说一定能拿到终身职位，甚至不能保证说我一定能毕业。很多不确定的因素，如果想得太多，反而把自己的精力耗散掉。”

以上就是数学家恽之玮、张伟对数学的理解，以及对“如何确定自己是否适合走数学这条路”的建议。

数学和诺贝尔奖

江才健

长久以来流传的一种说法，认为诺贝尔奖之所以没有数学奖，是因为诺贝尔先生与数学家不睦，甚至说他是因为女朋友嫁给了数学家，所以一辈子没有结婚，因此设立诺贝尔奖当然就不可能有数学奖了。

最近收到两篇文章，谈到数学相关的一些历史，相当有趣。关于诺贝尔奖没有数学奖项比较详尽的说法是，诺贝尔和一位瑞典数学家米塔-列夫勒(Gösta Mittag-Leffler)不睦，甚至说诺贝尔的太太和米塔-列夫勒有染，其实这个传言完全不实，原因是诺贝尔和米塔-列夫勒当时并没有什么来往，而且诺贝尔终其一生是一个光棍，当然没有诺贝尔太太的问题。

诺贝尔奖虽然没有数学奖，但是数学领域中却有一个非常重要的奖项，叫做费尔兹奖(FieldsMedal)。费尔兹奖头一次颁奖是1936年，比诺贝尔奖晚了三十五年，不过费尔兹奖是四年颁发一次，由于这个奖代表着数学领域的最高成就，因此也有“数学诺贝尔奖”的称号。

加拿大数学家费尔兹(John Fields) 创立费尔兹奖，动机并非为补足诺贝尔奖的没有数学奖。曾经做过国际数学大会会长的费尔兹，1932年过世之后，国际数学大会以他的捐款，在1936年创立以菲尔兹为名的奖项。费尔兹原来的意思，是为鼓励年轻的数学家，后来经多年演变，有了现今只颁给四十岁以下数学家的规定，其实他们设立这个奖，也是为了挽救当时国际数学界受到国际纷争而面临困境有关。

其实数学家并不喜欢与诺贝尔奖扯上关联，他们认为自己的领域比较纯粹而且清高，20世纪的大数学家魏尔（André Weil) 就曾经说过：

让那些围绕着有权势者办公室的人，得到贵重仪器，因为没有那些东西，诺贝尔奖就不可能到手。数学家需要的只有纸和笔，甚至有时连这些都不需要。没有诺贝尔奖引诱他们离开缓慢的孕育工作，来做出聪明却也暂时的结果。

根据历史研究的资料，菲尔兹奖和诺贝尔奖扯上关系，是1966年之后才益发显著，而这个背后还有一个相当曲折有趣的故事。

1966年的菲尔兹奖颁给了四位数学家，其中包括后来做了英国皇家学会会长的当代大数学家阿蒂亚（Michael Atiyah)，另外有一位是美国数学家斯梅尔（Steven Smale)，费尔兹奖与诺贝尔奖的关联纠葛，正是与斯梅尔这个数学家有密切关系。

在美国加州大学柏克莱的斯梅尔，对于当时美国在越南的战争，是最激进的反对者，1966年8月5日旧金山《检察人报》报导，斯梅尔收到传票，要他到美国众议院非美活动委员会接受询问，那一篇报导还说，斯梅尔不但没有到众议院委员会接受调查，还逃往了莫斯科。这个报导立刻遭到斯梅尔所在的加州柏克莱大学数学系主任翰京(Leon Henkin)否认，他说斯梅尔并没有回避非美活动委员会的听证会，斯梅尔到莫斯科是为参加那年暑期的国际数学大会。

事实上就在美国众议院要求斯梅尔接受调查的同一天，在莫斯科举行的国际数学大会，把那一次的菲尔兹奖颁发给他。第二天的新闻报导还特别强调，菲尔兹奖是数学领域最高的荣誉，可以说是数学界的诺贝尔奖。这些报导把莫斯科的国际数学大会和美国众议院的听证会关连起来，对比出一种清高学术和肮脏政治的面貌。

一礼拜之后，世界上夙有地位的《纽约时报》刊登一篇报导，说经美国、法国和北越数学家的共同努力，国际数学大会通过一项决议，谴责美国众议院的非美活动委员会，以及美国军事入侵越南。《纽约时报》后来又报导斯梅尔在莫斯科大学举行的非正式记者会，批评美国在越南的军事行动，不过也批评了苏联的政治迫害，让斯梅尔一下子成为举国皆知的风云人物。

一年之后，斯梅尔向美国国家基金会申请两年十五万美元研究经费，遭到美国科学基金会拒绝，由于去年八月斯梅尔的拒绝到美国众议院听证，引起许多美国国会议员不快，因而斯梅尔计划的遭到拒绝，就被支持者认定是政治原因，新闻报导也特别强调，斯梅尔是一个获得了相当于诺贝尔奖的数学奖项的数学家。这种模拟，使社会大众很容易了解斯梅尔的学术贡献，后来他的计划获得批准，而菲尔兹奖与诺贝尔奖的关联，也就更进一步增强了。

在一般人的印象中，总喜欢把学术和政治对立起来，认为学术是清高的，而政治则很肮脏，这种想法在学术中人更是普遍，甚至让许多人生出一种「举世皆浊我独清」的傲慢，其实学术和政治一样，都是人间俗事。

当然学术个中并非没有芳草，2006年费尔兹奖得主之一的俄国数学家佩雷尔曼（Gregory Perelman）正是其一。这位俄国数学奇才在一九九二年俄国经济崩溃时曾到美国访问，做出一些重要数学工作，但是他拒绝好几个美国一流大学的邀聘，一九九五年回到圣彼得堡的史泰格洛数学研究所，接受月薪不到一百美元的工作。2002年他解决了有世纪数学难题的庞加莱猜想，居然就先放在网上公布，后来他不但没有接受克雷基金会给解决此一问题者的一百万美元奖金，也没有去领费尔兹奖。

一位俄国数学家曾经说，「要做出伟大的工作，你必须保有一个纯净的思维。你只能想数学，其他的事都是人类的弱点。接受奖项正是显出一种弱点。」或许这正是佩雷尔曼心里的想法。

本文作者江才健，转引自财新网博客专栏。

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罗胖曰：
近年在西方美术学院里，理论课的比例越来越高。
一个合格的毕业生，既得是一个好画家，也得是一个好的艺评人。
这个趋势的背景是——
创作不是唯一重要的事了。
更重要的是怎么描述你的创作。
于是，有人讥讽当代艺术家，“说的一口好画”。
一门手艺，总是想告诉大家——
“我们这一行，活儿很重要。传播不重要。”
而事实常常相反。

How

数学家丘成桐：我做学问的方法

丘成桐是世界知名的数学家，他曾获得过有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖，他同时是美国科学院院士和中科院外籍院士。5月份丘成桐到国内的三所学校演讲，分享他自己做学问的经验和心得。微信公众号“数理人文”发表了他的演讲记录。

丘成桐分享的经验包括以下三点：

首先，他认为，“做大学问，必须要有激荡性情的种子”，然后才能看得远，不怕失败。“一个有开创性的学者，必须有能力去找寻大自然赐予我们的真和美。如何去发掘自然界的真和美？这有如撞钟，撞之大者则大鸣，撞之小者则小鸣。”

所以，以获得诺贝尔奖、评选上院士为目标做学问，无可厚非，但是像伽利略、牛顿、高斯、爱因斯坦这些伟大科学家，是把自己的研究和人类进步联系在一起的。以名利为出发点，就像撞小钟；伟大科学家的目标，就像撞大钟。

其次，他主张要站在巨人肩膀上，回到学科的初始经典，反复琢磨，标心于万古之上，“巨人之所以能够创造传世的学问，自然有他独特的理由。他们生长的环境，他们吸收文化的气息，他们成长的过程，他们对学问的看法，他们做学问的态度，尤其是他们在屡次失败后如何去吸取教训来达到最后成功的过程，都值得我们去学习！”

丘成桐以自己为例，他学习黎曼几何差不多五十年，但是直到今天，他读黎曼在1854年写的论文，仍然会发现其中有很多深入而且意想不到的想法。“160多年来，几何学家都还没有将黎曼这篇伟大的文章消化干净。这事情值得现代的几何学家去深入思考！我们要摸索古代的伟人们在研究学问时，从原始的想法发展到成熟的过程！所以对学者而言，标心于万古之上是很重要的学习方法。”

那些过往的人类知识巨人，在创造一门学科时，对学科有通盘的检视和考虑。“往往在一门学科开始的时候，大方向反而会更加清晰，不会在繁琐的现象中迷失了方向。”但是在学科发展过程中，“后来的学者往往只看到其中有趣的一部分，却忘记了始作者还有其它重要而有意义的想法。”

第三，丘成桐会从其他学科中获得研究数学和物理的激情和方法。用他自己的话说：“我从历史中吸取做学问的经验，从文学和现实生活中得到做学问的意境和激情。”他在13年前就曾写过一篇文章叫《数学与中国文学的比较》。

丘成桐还引用梁启超谈论小说的文章来概括做学问的方法。在梁启超看来，小说之所以能够影响人，是因为有四种力量，分别是熏、浸、刺、提。

对应到做学问上，一个人年轻的时候，很容易受到环境和同伴的熏陶。这就是环境的力量。朋友如果认为偷盗是最好的生活方式，他慢慢也会接受；如果身边的朋友都是大学者，追求不断创新，他自己也会慢慢学习创新。因此，“要成为学术伟人，所处的环境必须要有浓厚的学术气氛。一般来说，杰出的学者大都出现于名校，这不是偶然的。”

浸是专注和用功。丘成桐说，这是学习一流学问的不二法门，只有浸淫其中，久而久之，这些学科才能变成你知识的一部分。所以，一般而言，丘成桐不赞成学生跳级，因为，学生必须要有一定的时间浸淫在美好的环境中。

刺就像是佛教禅宗讲的顿悟。经过一个累积的过程，突然融会贯通，豁然开朗。当事人可能认为是天赐灵感，但是它就像是瀑布一样，必须有上游的水流的积蓄，才能够在到达悬崖时“飞流直下三千尺”。

提是指一个学者在深入研究一门学问时，往往会把自己全身心投入其中，是学者自身的激情和好奇心。

以上就是著名数学家丘成桐从自身经验出发，总结出的做大学问的方法，希望对你能有启发。

本期内容参考来源：《丘成桐：我做学问的经验》，见于微信公众号“数理人文”。

收藏｜如何进行数学启蒙，让孩子爱上数学

2018-02-24 得到罗辑思维
引言

研究表明，孩子早期的数学能力越好，不仅之后的数学能力普遍较强，甚至识字能力也会更好。都知道数学重要，但数学却是很多孩子的弱项。

怎样数学启蒙才科学？如何培养孩子的数学能力？育儿专家Dr.魏的这篇清单，为所有家长支招，助宝宝提升数学能力，发现数学的奇妙。

孩子天生有数感，这种模糊计算能力，是后天精确计算能力的基础，不依赖于语言或教育。不必担心孩子太小搞不懂，数学启蒙应及早开始。
父母是孩子天然的第一吸引力。父母对数学的焦虑情绪，会传染给孩子，影响他的数学成绩。相反，如果父母表现出对数学的热情，日常生活中引入数学思维，孩子也更容易喜欢上数学。
最重要的数学启蒙，是让孩子了解到数学的重要性。把抽象的数字跟生活情景联系在一起，比如电话号码、今天的日期、爸爸的车牌号等，比背公式有用得多。孩子觉得数学对他有用，兴趣也会变大。
鼓励孩子用数学解决实际问题。生活中，用各种实际问题，刺激孩子思考，让他们尝试用不同的方式获得答案。比如问孩子：“家里4口人，该拿几根筷子？”鼓励他分别用加法和乘法获得答案，这样计算后，他对加法和乘法的共通性，会有进一步的理解。
帮孩子建构数量与符号之间的关系。很多孩子会数数，却没有真正理解数字的概念。以数字“5”举例，孩子看到时，大脑会同时处理三个信息，一是读音“wu”，二是像一把弯钩的视觉符号，三是抽象的数量概念。可以通过让宝宝唱数、点数，以及比较与估算，来搭建起头脑中数量与数字符号的联系。
引导孩子描述头脑里的思维活动。比如玩“假装买菜”游戏，过程中多进行语言互动，“十块钱可以买多少蔬菜？”“胡萝卜3块，还剩多少钱？”不断给出反馈，很多时候，孩子会在不知不觉中学会加减法。
人脑中与数学相关的脑区，和处理空间信息的脑区，是非常相似的，数学运算借助的就是视觉空间能力。可以通过实物，提高孩子对数字的理解。比如运算10减3，在桌上摆两排铅笔，一排10根，另一排3根，眼前有两排真实的东西，孩子更容易理解。
数学不只是计算，推理更重要。5岁是孩子数学推理能力迅速发展的阶段。推理小游戏、情节曲折的故事，都是培养孩子推理能力的好方法。
培养孩子的几何思维。研究表明，孩子一般在2岁6个月时，已经能准确描述物体的形状了。玩具、实物是锻炼几何思维的好方法。可以跟孩子一起搭积木、拼七巧板，引导他体验图形之间的转换，比如两个三角形可组合成一个正方形，两个正方形可组合成一个长方形。
引入比较和排序的概念，是打造测量思维的基础。比如，用“大小”“轻重”“长短”这类的比较词向宝宝提问，有意识地在对话中使用测量单位；还可以让孩子按从大到小的顺序收拾玩具，并述说理由。
对于比较小的宝宝，排序可能比较困难，重在提高比较思维。平时多问问他“这个比那个多吗？”“那个比这个少吗？”这类问题，引导他做出比较。
不妨试试睡前跟孩子讨论数学问题，而不是读故事。
最后强调一下：教育孩子，潜移默化的环境影响最重要。给孩子一个有数学思维的环境，在日常生活中，用游戏和对话的方式让孩子熟悉数学，就是最好的数学启蒙。

如何让孩子从小就学好数学

怎么让孩子学好数学，是不少家长的老大难问题。最近在微信公众号“常青藤爸爸”上看到一篇文章，作者就整理出了5岁之前孩子数学发展的时间表，并且在每个时间段都给出了详细的具体建议，说按照这个方法去做，那让孩子从小就学好数学根本就不是梦。

首先是孩子出生6周到两岁这个阶段。这个阶段的孩子刚刚有数量的概念，但是还没办法准确地理解数字，也就是说，他们还不知道3个比2个多。不过呢，他们却可以理解什么是“满”的、什么是“空”的。所以在洗澡的时候，你可以给孩子一个杯子，让他往里面舀水，并且有意识地让他明白越是大的杯子，需要舀水的次数就越多。

另外，这个阶段的孩子能理解即刻发生的事件，但不会延迟思考。比如说，他们可以理解“马上去洗手”，但是却不会记得每次吃饭前都要洗手。所以，你就可以稍微给孩子一些挑战，延长他们对于物体记忆的长度。比如，给他们三个左右的玩具玩儿，过一会让他们闭上眼，你偷偷拿走一个玩具，再让他们睁眼，看看孩子是不是能记住什么被拿走了。

其次是孩子两到三岁这个阶段。这个阶段孩子已经有了空间感，对东西的摆放有了位置的感念，比如他们会开始使用“在……上”、“在……前面”这些词儿。而且，他们还学会了连贯地数数，能区分长短。所以对这个阶段的孩子，家长可以多陪他们读绘本，读的时候，经常停顿一下，给孩子留出数数的时间。家长也可以尝试让孩子去形容家中家具的具体位置，比如窗台上有花瓶、被子在床上等等。总之最好能利用孩子熟悉的环境，来促进他们对位置的理解。

再来看第三阶段，孩子三到四岁的时候，对数学的理解会突飞猛进，开始有了对“序列”理解的新技能。你给他们读故事的时候，他们能有意识地发现其中图片的序列，比如“红色，黄色”等等。他们也开始能对物体进行排列，比如从“大到小排列”，从“短到长排列”等等。这个阶段，他们开始有了数量的概念，比如“6”这个数字就可以代表有“六个玩具”。同时，他们也开始学会测量，知道什么是相等的、什么是不相等的。

所以针对这个阶段孩子的特点，你可以有意识地培养他们对数学的兴趣。比如，测量孩子的身高，你可以先按照他们手的大小制作手套，然后让他们的同伴去摆设手套的高度来测量，也许他们会说我的身高是“9个手套”，你的身高是“7个手套”。这样，通过互相的对比，他们就能对测量这件事儿有了真正的理解，对未来学好数学做好铺垫。

我们再来看孩子自4到5岁这个阶段，这个阶段孩子数学发展最显著的特点是，他们对数字出现了“加”和“减”的概念，能分出哪个数字大，哪个数字小，而且，他们可以准确地说出过去的时间，比如“礼拜六，奶奶来我家接我了。”另外，这个年龄段的孩子喜欢说“大数”，认为这是一件特别酷的事情。比如，有个孩子说“我有10个玩具。”另外一个就说：“我有100个。”接着第三个孩子就会说：“我有10千个。”

所以，针对这个阶段孩子的特点，家长可以给孩子设置一些开动脑筋的游戏，让他们在玩乐中就培养起对数学的兴趣。比如，把一大堆红红绿绿各种颜色的玩具堆在一起，然后再放几个装玩具的空盆子。这时候就问孩子们：这些玩具你们想怎么分类啊？孩子们就会想出各种各样的分类方法，比如按颜色分类，按大小分，按类别分等等。总之一个原则，你在跟孩子玩这样的分类游戏时，尽量不要预设维度，这样他们就给出各种出乎意料的分类方式。

再比如，可以找一大片空地，在上面画一堆正方形表格，就类似于九宫格那种，每个格子上都写上数字，然后让孩子在每个格子上跳来跳去、无拘无束地玩耍。这样，孩子们会踩数字，可能跳2的倍数，可能跳3的倍数，按照他们自己发现的规律在格子间跳来跳去。类似这样的游戏可能培养孩子的“数感”，也就是对数字的感觉，对数字的感觉好了，那学好数学也就不在话下了。

所以你看，对于5岁以下的孩子来说，一定不能抽象地让他们练习数学，而是要结合孩子的实际生活，分阶段地让他们感受数学，只有这样他们才会对数学真正产生兴趣，而不会过早就被数学给“吓”傻了。

其实不止数学哈，孩子成长各个阶段的各项技能，都应该是有针对性地使用特定的方法来引导，而不是一股脑地强迫他们学。很多家长弄不明白这个道理，结果只能是费了九牛二虎之力，还起不到什么好效果。

本文源自：公众号“常青藤爸爸”（幼儿数学能力发展时间表&如何在玩中学数学）

教你用数学谈恋爱

数学对爱情有帮助吗？当然有。在一次TED演讲中，数学家汉娜分享了三个和数学有关的爱情秘诀。

第一个秘诀是关于网上交友的。今天很多人都会在社交网络交友，上传资料时，经常会纠结哪张照片更好看。但汉娜说，其实你没必要纠结，因为那些处理过的美照不会让你更有优势，相反，你传了一张素颜照，可能更管用。数学家统计过一个社交网站的数据，发现那些很漂亮的女性并没有更受欢迎。他们发现，如果男人们对某个女性照片的争议越大，她获得的青睐就越多。所以，你应该选择与众不同的照片，因为那些对你没兴趣的人不会对你感兴趣，但那些喜欢你的人，无论如何都会喜欢你。

第二个秘诀是关于寻找结婚对象的。数学家计算出了一个最优停止理论，假设你从15岁开始恋爱，35岁结婚。这个理论认为，和你约会的前37%的人，就不要考虑和她结婚了。接下来，只要出现一个比以前所有对象都靠谱的人，从数学的角度来说，ta可能就是你的完美伴侣。当然，数学家没说这个理论是怎么得到的，而且这个理论也有风险，因为万一你的完美伴侣出现在了前37%，你就有可能孤独一生了。

第三个秘诀是关于家庭生活的。数学家发现，夫妻是否会离婚，要看他们在交流的时候是积极的，还是消极的，交流越积极的夫妻，越不容易离婚。而且，数学家还设计了一组算式，通过一些变量，预测夫妻交流时积极和消极的程度，比如他们独处时的情绪，两个人在一起时的情绪，等等。不可思议的是，这个算式还能完美预测两个国家是否会开战。也就是说，生活在消极情绪中、随时可能离婚的夫妻，相当于即将开始一场国家战争。

另外，很多人认为，婚姻应该相互妥协和理解，夫妻有了小矛盾，忍一忍就算了。除非是天大的事，才应该坐下来严肃讨论。但数学家得出的结论正好相反，完美的夫妻不会忽视任何一点小矛盾，要留给对方抱怨的空间。他们有了小矛盾就修复，这样才不会累积成更大的矛盾。

本文源自：TED演讲：如何用数学追到完美情人

Experience

女孩的数学能力天生比男孩差吗

不管是中国还是外国，都有这样一种看法，那就是女孩的数学能力不如男孩。而且像计算机、编程这些和数学有关系的职业，也都是男多女少。女孩的数学能力真的比男孩差吗？公众号“常青藤爸爸”有篇文章，从行为学、脑科学和社会心理学等方面，分析了这个问题。

第一点，从婴儿时期行为来看，男女的数学能力没有明显的差异。有学者曾经做过实验，把出生后的婴儿放在一间屋子里，里面有人，也有物体。结果发现，男性婴儿更愿意盯着物体看，女性婴儿更愿意盯着人看。得出了一个结论，因为男女早期关注点的不同，导致了后天男性更擅长理科。因为理科要研究物体之间的关系；女性更擅长文科，因为文科需要和人打交道。但也有人反对这种说法，有一个类似的实验，研究人员用不同的力量推玩具车，然后让婴儿观察，结果发现，女性在5个半月就能理解力气越大，玩具车推得越远；男性理解这个问题要六个半月。也就是说，虽然男性刚出生之后更愿意关注物体，但对物体的动态理解并不见得比女性好。所以从这些行为实验里，我们推不出男女谁的数学更好。

第二点，脑神经科学家发现，人类有5大系统控制数学思维。第一个系统是“小确数认知”。孩子6个月就有这种能力了，他们能够认识1、2、3这些比较小的准确数。第二个系统是“大估数认知”，孩子在一两岁的时候，就有估计数量的能力了，比如他们知道二十多个小朋友比十多个小朋友多。第三个系统是“数字语言”，孩子快三岁的时候喜欢数数，开始用数量词。第四个和第五个系统分别是空间能力和地理位置能力。这种两种能力孩子出生就有了，只不过四五岁的时候发展比较迅速。

虽然在人类早期这5个数学能力的发展上，没有明显的差别。但我们的大脑在更细的分工中，确实有性别差异。研究发现，男性大脑在需要空间想象能力的数学任务中，完成度比较高。女性大脑在需要使用数学语言的任务中，完成度比较高。更加精确的研究发现，女性大脑在纯算数，相对位置记忆要比男性强；但在语言类比，数学应用类问题，以及地理位置记忆中，就不如男性了。比如，描述地点的时候，女生一般喜欢用“前后左右，或者某个大楼附近”，而男生喜欢用“东南西北”。

当然也有脑神经科学家认为，性别不能区分数学好不好。耶鲁大学教授观察了做数学题时候的大脑图像，发现解题能力强的人，左脑活动明显更加激烈。或许用左右脑的活动能力来区分可能更准确。

第三点，斯坦福大学有个心理学家认为，个人本身的思维模式，是导致数学好坏的原因。她认为人有两种思维模式，一个是固定思维模式，这种人觉得智商是天生的，后天努力对智商没影响。还有一个是成长型思维模式，这种人觉得只要努力，智商是会提高的。然后这个心理学家做了很多实验，发现不管是男是女，如果是固定思维模式的人，一般都觉得数学是一种天赋，不愿意做比较难的数学题，数学能力也比较弱。但如果是成长型思维模式的人，就会觉得数学能力是可以通过努力改变的，这些人数学能力就比较强。按照这个逻辑，只要让女孩子改变思维模式，就能提高数学能力了。

这个教授做了个实验，找了两个数学成绩差不多的班级进行数学测试。其中一个班级，考试前进行题海战术；另一个班级，考试前进行洗脑战术，告诉学生大脑是怎么运行的，强调后天反复刺激，可以增强大脑在数学上的能力。结果发现，几个月后的数学测试中，两个班级的数学成绩都提高了，但洗脑战术的班级，明显比题海战术的班级成绩好。而且在洗脑战术的班级里，男女的数学成绩也没有差别。

当然，男女生数学能力有没有差别，每个领域的说法都各有利弊。行为学更容易被大众接受，但没有直接的因果关系。比如你看到男孩喜欢搭积木，不代表他这方面能力一定比女孩强。脑科学的解释虽然抽象，但更具体直接，大脑确实有五大数学思维系统，男女大脑功能也有分工上的区别。社会心理学的解释，让我们更关注个体的思维模式的差异。所以无论男女，当你的大脑相信可以通过努力改变数学能力，那么你就真的离提高数学能力不远了。

本文源自：公众号“常青藤爸爸”（女孩的数学能力天生比男孩差吗？怎么破？）

二战胜利是数学家的功劳？

提起二战，大家都知道，这是人类历史上最大规模的战争冲突，同盟国足足花了六年，才战胜了德意日三个法西斯轴心国，整个过程可以说是惊心动魄，可歌可泣。那说起二战中的英雄，你的反应很可能是政治家和军人，比如带着礼帽、叼着雪茄的丘吉尔，或者带着钢盔、腰里别着手枪、坐在吉普车上的巴顿将军……可微信公共号“赛先生”最近发了篇文章说，保证盟国获胜的，是一群数学家，跟生活大爆炸里的宅男四人组很像。

你可能会问，研究纯理论的数学家，对于真刀真枪的战争能做什么贡献呢？先给大家讲个故事。1943年以前，德国潜艇在大西洋上所向无敌。从美国出发前往英国的物资输送船队，经常遭到袭击，坦克、枪支弹药等大量军用物资，还没送到前线就沉到海底了。当时，英美两国又不可能增派大量军舰来护航，怎么办？别急，数学家发挥作用的时候到了。

以前，美国海军有这样一个观点，说运输船队规模越小越好，这样遇到德国潜艇，造成的损失也有限，所以每支船队都被拆分成尽量多的编次，按次序出海。可数学家们运用概率论分析后发现，这个理论不正确，舰队与敌潜艇可能相遇，也可能不相遇，这是一个随机事件，一支运输船队，编次越多，与敌人相遇的概率就越大，就好比5个小学生，放学后都回自己家里，老师想要找学生的话，随便去哪家就行。但如果这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%。所以，美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果，运输舰队被击沉的概率由25%降到了1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。

尝到了数学带来的甜头之后，美国和英国政府就迅速增大拨款，成立了很多专门研究机构，把数学家组织起来，用数学解决战争中的武器开发、战略战术、后勤运输等一系列问题，分工非常细致。比如，纽约州立大学小组研究空气动力学、喷气火箭理论，哈佛大学为海军研究水下弹道问题，哥伦比亚大学重点研究空对空射击学，以及改进验收、抽检军用产品质量的方法等等。美国政府流行着这样一个说法，“一个优秀的数学家，比十个陆军师还要威力强大”。

当然，英国人也没让自己的美国盟友独领风骚，英国数学家在二战中的最大胜利，就是破解了德国人的超级神秘密码。他们专门组织了一批人，最高峰时有超过2600名工作人员，被誉为现代计算机与人工智能之父的数学家阿兰.图灵，也是其中之一。这些数学家和密码专家被分成了不同的破解小组，每个小组专门研究特定类别的密码，最终成功破译了德国的超级神秘密码。于是，德意日轴心国在盟国面前，几乎是毫无秘密可言。

举个例子，在被誉为二战转折点的北非阿拉曼战役中，由于盟国能够破解德军密码，使得所有运往北非的轴心国运输船，几乎都被英国潜艇击沉，号称“沙漠之狐”的德国名将隆美尔，是巧妇难为无米之炊，最后不得不在英军的强大攻势面前后撤。同样，在太平洋战场上，美国海军情报部门依靠数学家和音乐家，破译了日军的通信密码，提前获悉了日本联合舰队进攻中途岛的作战方案。美国太平洋舰队迅速做出了相应布置，一举歼灭了日本联合舰队四艘航空母舰，自己只损失了一艘，从此日本也在太平洋上被迫停止了攻势。

数学在二战中还被用来研究战术。1943年的时候，日本联合舰队策划了一次军事行动，要穿越一条很长的海上路线。当时有南北两条线路可供选择，不同的是，未来三天，北线阴雨，能见度差；而南线天气晴好，能见度高。美国轰炸机就布置在南线机场，在数学家的帮助下，他们预计出了四种可能出现的情况，情况一：美军重点侦察北线，日军恰好走北线，由于天气恶劣，能见度低，美军只能轰炸两天。情况二：美军重点侦察北线，日军走南线，由于发现晚，美军也只能轰炸两天。情况三：美军重点侦察南线，日军走北线，由于发现晚，且北线天气状况差，美军只能轰炸一天。情况四：美军重点侦察南线，日军恰好走南线，日军很快被发现，天气又好，美军迅速集中力量轰炸，可以轰炸三天。

由于日本人也肯定在做相同的推演，所以方案三和方案四很快就被排除了，剩下两个方案中，美军认为方案一会成为现实，所以重点搜索北线。事实也证明，他们的判断是正确的，尽管他们在一天后才发现日军舰队，但因为早有部署，所以还是实施了两天的有效轰炸，日军遭受重创。后来，这种利用数学来计算有效资源投入如何能取得最大效果的学问，就逐渐演变成了今天企业管理中不可缺少的运筹学。

总之，在整个二战中，上千位美国和欧洲的数学家都投入了这条隐蔽的反法西斯战线，数学研究的中心，也从德国转移到了美国，数学不仅帮助盟国打赢了二战，也通过军事方面的应用，改变了我们现代经济生产、公共管理的方方面面。

本文源自：为什么说数学家比10个师更有威力？二战中数学家的贡献

科学：从政的天才数学家

菲尔茨奖得主、著名法国数学家赛德里克·维拉尼（Cédric Villani）在2017年当选法国国民议会议员，成为年轻总统马克龙的新国会成员。菲尔茨奖是数学研究的最高奖项，有诺贝尔数学奖之称。新总统对科研也更加重视。马克龙已经承诺，会将法国的科研经费从GDP2.2%提高到3%。这个数字是什么概念呢？看一下中国。中国科研经费占GDP比重2014年时首次突破2%，十三五规划中，提到要在2020年把这个比重提高到2.5%。

在接受《科学》杂志采访时，维拉尼谈到他为什么要参与政治：“我希望能够参与进来，让法国重拾信心。至于科学，这是一个复杂的生态系统，法国的问题也众所周知。科研资金竞争激烈，负责机构的效率就是一个问题；如何奖励那些取得重要成就的研究人员也是一个问题；如何组织管理各个高校；大学入学甄选；在研发投资方面公有和私有的比例；科研发现的专利化以及产品市场化……等等。我并没有一个特别会关注并参与的问题，我希望对整个科学系统起到推动作用。通过这些事情，我不仅要服务科学。我的目标在于让社会能够以科学的专业洞见为工具。目前，法国政治圈中的科学知识几乎是零。在国会中引入一些科学专家是非常重要的。”

在谈到参与公共事务对自己学术研究工作的影响时，维拉尼说：“在生活中，当我们想要获得一些新的经历时，常常需要放弃一些其他东西。法国现在的政治形势非常特别，令人惊喜。付出这些代价都是值得的。”

分解42

42 = (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313

数学家一直猜想，任意一个整数都可以分解成三个整数的立方和，n = x3 + y3 + z3。2019年之前，100以下的自然数，只有33和42没有分解成功。

2019年2月，33分解成功。9月初，另一个数学家宣布42也分解成功（上式）。目前，1000以下的自然数，还有114、165、390、579、627、633、732、906、921和975，没有找到分解方法。

谢耳朵猜想被证明（中文）

美剧《大爆炸理论》的主角谢尔登说，他最喜欢的数字是73。因为73是第21个质数，7 乘以 3 正好等于21，而且翻转过来也成立，37是第12个质数，宇宙中不会再有第二个这样的数字。电视剧播出后，这被称为”谢尔登猜想”，还真有数学教授写论文证明，这个猜想是正确的。

约翰·康威的一些数学宝石（英文）

最近，著名数学家约翰·康威（John Conway）由于新冠病毒去世了，网上有很多纪念文章。这篇文章总结了他一些不为人所知的小发现。

比如，任意三角形的边延伸到每个顶点之外，并且其距离等于对边的长度，所得的六个点将在一个圆上，这个圆就称为”康威圆”。

逝者|生命游戏发明者的生命游戏

文丨吴军计算机科学家，《数学之美》作者

　　2020年4月11日，普林斯顿大学荣誉退休教授、计算机科学家和数学家约翰·霍顿·康威（John Horton Conway）因新冠病毒引起的并发症在新泽西普林斯顿去世，终年82岁。

　　康威一生在数学和计算机科学领域都有很多贡献，不过他最为人所熟知的身份，是计算机算法中“生命游戏”（Game of Life）的发明者。1970年，生命游戏的基本规则刊登在《科学美国人》杂志的专栏上，被计算机程序实现后，曾在20世纪70年代风靡一时。如今，它既是几乎所有学习编程和算法的人都会做到的练习题，也是充满哲理和智慧的发问——什么样的生存空间对我们来讲是最合适的？生物个体之间的互动会如何影响到种群的分布和演化？

　　“生命游戏”的概念并不复杂。它讲的是在一个像围棋盘那样的二维空间中分布着一些生命体，每一个空格只能被一个生命体所占据。如果一个生命体周围没有其他生命体或者只有一个生命体，那么这个生命体会死掉；如果周围有两个，它能生存；如果有三个，它不仅能生存，还会在旁边的空格处繁衍出一个；但是，如果周围的生命体太多，有四个或者四个以上，它就会因为缺乏资源而死去。接下来的问题是，给定一个初始状态，在这个空间里，生命体会怎样繁衍？哪些会死去，哪些空白的空间又会被占据？

　　“生命游戏”的算法很简单，但它所提出的问题却发人深思。生存空间太大或者太小对发展都是不利的。在一个极度地广人稀的社会，人的机会其实很少。比如，在欧美一些地区，O2O的服务，甚至5G通信，都不可能发展起来，因为人口的密度太低。但是，如果人口密度太高，也会存在无限的风险，从这次全球公共卫生事件中就能看出来。不幸的是，康威自己成为了人口过分密集的牺牲者。我们今天无法得知，50年前，32岁的康威为什么要提出“生命游戏”的概念？但当时的他似乎已经意识到，人和人之间的距离和关系对我们来说是一件很重要的事情。

　　康威1937年12月26日出生于英国利物浦。他从小就致力于成为数学家，中学毕业后如愿以偿进入剑桥大学学习数学。在那里，康威解决了达文波特提出的将数字写成五次幂之和的问题，并因此对无限数列产生兴趣。这让他后来花了很多时间从事数论、组合数学和代数等领域的研究。康威自己最引以为豪的是提出了超实数（Surreal numbers）的理论，也就是在传统的实数中添加无穷小量，将数的概念进行扩展。这成为博弈论和计算机科学的一个工具。此外，康威还在群论、拓扑学和理论物理等方面卓有建树。他生前获得过很多学术大奖，并且当选为英国皇家科学院院士。

　　康威的前半生是在英国度过的，博士毕业后不久就在剑桥大学担任教职，后来升到教授，在剑桥一干就是21年。1986年受普林斯顿大学邀请，康威成为该校冯·诺伊曼讲席教授，这是该校最受人尊敬的职位之一。据他在普林斯顿的同事回忆，康威教授是一位天才，但他绝不是一位传统的数学家，这在很大程度上是因为他生逢信息时代，从而可以在一个更广阔的空间，而不只是传统的数学分支中，发挥自己的天才作用。

　　康威一直对“娱乐数学”非常热衷，他的个人传记也以Genius at Play为名。他总是随身带着一些硬币、卡片、骰子、绳子等道具，发明了许多游戏和难题。“生命游戏”不过是他提出的各种有趣问题中的一个而已。还在剑桥读书的时候，他就对各种游戏感兴趣，常常在休息室里一玩就是几个小时。

　　康威的研究兴趣非常广泛，他长期的合作者、同是普林斯顿大学的数学家西蒙·科琴（Simon Kochen）提及，“他就像一只蝴蝶，总是从一件事飞到另一件事上，而且总有点睛之作。”为了便于广泛研究各种课题，不受约束，康威在普林斯顿大学放弃了常规办公室，搬进了一个大休息室，在那里和许多同事、学生不断讨论，彼此挑战和争论。在空闲的时候，他就去找其他人玩数学游戏或者比赛拼图，据说通常都是他获胜。他的妻子戴安娜也回忆道，“他不仅对数学感兴趣，而且对一切都感兴趣。”

　　数学界对康威的整体评价则是“多才多艺的数学家”，具有非凡的洞察力和数学技巧，以出乎意料的方式阐明了各种各样的问题。不幸的是，这样一个人离我们而去了，但他留给我们的生命游戏还会继续进行下去。