0%

Problem

问题就是机会

【17.11.20】IPCreator:锁头与钥匙
问题就是锁头,解决问题的方法就是钥匙,眼睛不能只盯着锁头看,一方面可能会加重顾虑及减少信心,另一方面也无利于事情的解决。钥匙一定在别处,转移注意力,调动自己的理性思维,认清问题的本质,立足现实,充分利用手头上能够利用的资源和力量,多为成功找方法,付出行动并坚持下去,最后问题一般都能得到解决。

不轻易给人带来麻烦
也不轻易麻烦别人
相信自己带来的价值
你理解中所谓的麻烦其实更多的是一种追求完美的想象
你能带来的价值,是一种可能被严重低估的创新事物,譬如:观念,视角

你能从这期课听到什么

我是曲凯,毕业于美国杜克大学,做过管理咨询,在BAT做过产品,也做过风险投资。现在,则是自己在创业。

经过了这么多年的工作,我发现自己所做的所有工作、职业,最终都可以落脚到一个点上,就是解决问题。做产品是为了解决用户的某个问题,做战略是为了解决公司的某个问题,做投资可能是为了解决社会的某个问题,创业则是整合所有的资源和人才来解决一个超级复杂的大问题。

现在的我会到处给大家做讲座,我会教学生怎么留学,会教职场新手怎么规划职业,也会教人怎么创业。听过我课程、看过我文章的人可能已经有上百万了,他们最后学到的都是一套底层的方法论。也就是, 面对各种各样的复杂问题,其实你拆解它、解决它的思路和手段都是相通的。你有了这样一套底层方法,你就是一个解决问题的高手了。

这也是今天我想要在“得到”App里教给你的知识。不管是什么样的复杂问题,要解决它基本上可以分成四个步骤:

第一步,明确和理解问题;
第二步,拆分和定位问题;
第三步,提出解决方案;
第四步,总结问题。

这四步的前两步,也就是明确问题和拆分问题,是最重要的。做好这两个步骤之后,解决方案往往会自己浮出水面,非常神奇。学完这四个步骤的你也能马上变得和以前那个一头雾水的自己完全不一样。

这套方法论不仅能用来帮公司做一个项目方案,也可以用来估算你家门口的煎饼摊每月赚多少钱,甚至还能帮你有计划地追到你的伴侣。我们上面所提到的这些问题都是你听完这次的课程之后能学会解决的。

其实,我们每个人的脑子里都有很多开关,这些开关就叫做思维方式,或者说是方法论。有些人他们就是打开的开关多了一点点,就能比我们更清楚地看到这个世界,更好地解决问题。

长远来看,人和人的区别到底在哪呢?就是这些开关的闭合。如果你也想成为一个很厉害的人,让大家在有问题的时候都能想到来找你;如果你也希望能把自己人生中的各种问题都理得特别清楚,那就和我一起用几十分钟的时间,打开你脑中的那个开关。

越早打开你就能越早地用更清晰的方式看待这个世界。

  1. 解决问题的基本步骤

| 传统经验的失效

我曾经试过很多职业,比如说就曾经在管理咨询公司实习过,以实习咨询师的身份,服务过很多行业里的大公司和大老板。

那时候我经常想的一个问题是,为什么我的那些客户他们明明在自己的行业和领域里有非常多的资源和经验,但还是宁愿付费请我这样一个只不过刚从学校毕业的咨询师来帮他解决问题呢?后来我发现, 大老板们跟我这样的管理咨询师最大的区别其实是,面对问题他们有的是经验,而我有的是一整套思维方式和逻辑。

每个人在解决问题的过程当中都可能遇到两种情况。

第一,这种问题你遇见过类似的,但上次的解决方案无效了;
第二,这个问题你完全没有见过,根本没有经验可循。

一个真正的高手,其实应该有能力用一套方法论去解决问题的所有,不管这个问题再难,再新鲜,再简单都能搞定。

会解决问题的人和不会解决问题的人,在实际工作和生活当中有什么区别呢?

比如说你的老板想交给你一个新任务,说,“小王你去负责一块新业务吧,这个业务之前的表现不太好,销售额下降了20%了,现在这个业务就交给你了。”老板可能还会要求你提供一套解决方案,扭转整个业务的形势。

这个时候,你要是不会解决问题,你会怎么做呢?很可能你就开始简单粗暴地在脑海中去想象,然后说一些碎片式的解决方案了。比如说是不是品牌有问题了,是不是我们要做更多的广告,或者是不是原先的成本太高等等。

这里面有没有可能有正确的答案呢?当然是可能的。但是,这肯定不是一个解决问题的高手会做的事情。你要是一个像我这样的受过专门训练的解决问题的高手,你会做什么?

| 解决问题的四个步骤

其实,解决问题只有以下四个步骤:
第一步,明确和理解问题;
第二步,拆分和定位问题;
第三步,提出解决方案;
第四步总结问题。
这四个步骤是我们这个精品课里会重点教你的一套方法。

请你注意,在这四步里,提出解决方案其实放得很靠后。第二步,也就是拆解和定位问题,反而是整套方法里最重要的。 如果你想要解决问题,你就必须用80%的精力去拆解和定位这个问题,剩下20%的精力去寻找解决方案,其实就足够了。 因为,当问题被拆分得足够细、足够清晰的时候,你就会发现解决方案原来是这么明显,每个人都可以办得到。

我们再来强调一次解决问题的四个步骤,因为这会是贯穿我们内容始终的,你必须记清楚。第一步,明确和理解问题;第二步,拆分和定位问题;第三步,提出解决方案;第四步,总结问题。

我们今天要讲的就是怎么用科学战胜经验,怎么有逻辑地获得一套解决问题的方法。所以,我希望你在听到我们的内容之后,能够明白我们所强调的这四个解决问题的步骤分别有什么意义和该如何具体实施。

  1. 明确及理解问题

上一节里,我们分享了解决问题的四个步骤。这四个步骤实在是太重要了,我要在这里再重复一下。

第一步是明确及理解问题;
第二步是拆分及定位问题;
第三步才是提出解决方案;
第四步是总结问题。

其中拆分和定位问题是最关键的一环。但是,我们总归要从第一步开始做起。所以,我们现在就来讲第一个步骤,明确及理解问题。

| 明确问题的三个步骤

平时经常有人来问我,他们生活中遇到的很多棘手的事情。我最喜欢反问的一个问题是,你到底知不知道自己在解决什么问题。请注意, 遇到具体问题时,你一定要问自己“我遇到的问题本质到底是什么?

你在工作中可能遇到过,一个任务你自己辛苦了半天,老板却不满意。这种时候,你可能就要想想,你在忙着解决的问题到底是不是老板交给你的那个任务。很多时候老板或者说委托方在派任务的时候可能表达得并不足够清楚。他可能只是随口跟你说,“某某某,这个问题你帮我解决一下”。但所谓的这个问题到底是什么问题,你很可能不敢问,只能自己揣测,上司到底是什么意思?

这个时候,我要严肃地提醒你,请务必自己明确一下问题,然后去跟这个托你解决问题的人确认一遍。

你可以从三个方面来明确问题:

第一步,你要找出对方关心的问题点。 还拿工作任务当例子,你可以说,“老板,我看了一下你这份工作材料,似乎我们部门过去一年里人员流失率超过了50%,这个数字确实很惊人,对我们业务的发展肯定也不好。我想明确一下,老板,你想让我解决的问题是不是这个?”
这个时候,老板很可能就会讲,“对啊,我就是要解决这个问题。你去看一下,问题到底出在哪里,给一个解决方案吧。”

第二步是明确解决问题的目标。 现在你知道上司介意的是50%的人员流失率。那他是希望把人员流失率降到49%还是10%,甚至是1%?不同的目标对应的解决方案肯定也不一样。
再高级一点,你还可以给出建议的目标,比如你可以说,“老板,我对比了一下整个行业的数据,我发现创业公司流失率高其实是很正常的,一般在30%左右。那我们现在50%确实是偏高了,我要多研究一下,看怎么把我们公司的人员流失率降到30%这个行业平均水平,您看行吗?”
这个时候,老板一定会觉得这是OK的一个答案,你就既明确了问题,又知道了自己的目标是什么。

第三步就是要明确可以用来解决这个问题的资源。 我们现在假设你和老板达成一致了,你们的目标就是要把50%的人员流失率降到30%。那你肯定就会需要HR、行政部门等等的配合,需要调出大家的薪酬数据、升职记录等等。这些资源,你都需要向老板去申请。

经过我们这三个步骤,你就可以从一头雾水到达一种非常清晰的状态。现在,你对这个问题的认知就是公司的人员流失率太高了,你需要把流失率从50%降到30%,老板允许你调用整个公司的HR,部门领导和离职人员资料等等各种资源。但凡明确到第一步,要解决这个问题其实就很简单了。

| 妈妈让你穿秋裤

我们带着这三个步骤再来看一个生活中的例子,这个例子我相信每个人都遇到过,就叫做“妈妈让你穿秋裤”。

我们首先来明确问题点,这里的问题肯定不是妈妈非让你穿秋裤,而是妈妈希望你不要着凉。所以我们要明确问题,不要在穿不穿秋裤这个点上和妈妈做无休止的争执。

然后,我们再来看希望达到的目标。我们自己希望达到的目标其实和我们父母是一样的,就是不要感冒,不要出现身体的问题。那么我们既然不想穿秋裤,又不想得罪自己的老妈该怎么办呢?我们就要明确可以利用的资源了。这就是我们明确和理解问题的最后一个步骤。

我认为这里的资源是一件外套和一个老爸。什么意思呢?就是我会和我妈说,你看,你让我穿秋裤是因为怕我感冒,对不对?我就是不喜欢穿秋裤,那这样好了,我多带一件外套。如果我觉得凉了,我就把外套盖在腿上。这时候我会转头再问我老爸:“老爸,你觉得呢?”

我相信老爸这个时候会站在我这边。他会说,“对啊对啊”,这样老妈也不会再说什么了。于是,穿不穿秋裤这个问题就圆满解决了。这其实就是我们日常生活中明确及理解问题的好处。

本讲小结
总结一下,这一讲说了明确和理解问题的三个步骤,分别是:
(1)理解问题点是什么;
(2)明确希望达到的目标;
(3)明确可以利用的资源。
有了这三项,你就做好了拆解问题的准备工作。具体如何拆解和定位问题,就是我们下一节要讲的内容。

  1. 定位和拆解问题

到目前为止,我们就已经讲完了解决问题的第一步,明确及理解问题。下面就可以进入到我们一个特别重要的环节,就是拆解和定位问题。

很多问题之所以难搞就是因为它特别的宏大而复杂。我们解决起来也不知道该从哪里入手。比如,我们都希望自己的生活过得更好,但是怎么样才能达到这个目标,怎么解决这个问题。每个人其实都不太知道这个问题的答案。

也许我们可以努力赚更多的钱,也许可以找到更好的生活方式。当然,你也可以调整自己的心态等等。这些都可能是答案,却又都不是特别完全的解决方案。

| 定义到“元问题”

为什么复杂问题我们总觉得解决起来就是千条万绪,找不到思路呢?这个答案很简单,也很重要。因为,我们生活当中遇到的大多问题都是所谓的复杂问题,而不是元问题。

什么是复杂问题呢?就是掺杂了多个维度和变量的问题。那什么是元问题?就是那些最本质、最细小的待解决的问题。

复杂问题是不可直接解决的。你每天都在应对各种各样复杂问题的时候,其实都是在下意识地把这个复杂问题做拆解,然后再去一一地解决掉。但是“下意识”是靠不住的。我们都需要有意识地去训练拆解和解决问题的习惯和能力,并且要能够主动应用这种能力才可以。

我们再来举一个更生活化一点的例子,比如说找不到自己的人生伴侣了,这个时候该怎么办?这个问题看起来很清晰和简单了吧,但其实它还不是一个元问题,它还是一个可以拆解的复杂问题。

因为,找不到女朋友,可能有各种各样的复杂原因,不管是外部的还是内部的。这个时候,我们就要来拆解这个问题了。找不到最适合另一半的原因可以分成两个层面,一个是自身层面,一个是外部层面。自身层面里面还可以分为硬件层面、软件层面,硬件层面包括学历、工资、外貌、身高等等。软件层面则包括兴趣爱好和性格等等。拆成这样,才是具体的元问题。

拆完了自身层面,我们再来拆外部层面。外部层面又可以分成你有哪些可以接触异性的渠道,外部是不是一个鼓励接触的环境等等。

当问题被拆成了这样一个个元问题的时候,你其实就会对如何找到另一半有一个特别好的认知了。你可以一项一项地对照着来问自己,比如说学历是不是问题,如果学历是一个局限条件的话,那你是不是要再去读个书。再比如说外貌是不是问题,具体是穿衣打扮还是你的发型有问题。 这样一来,很多问题就可以变得非常落地,变得可以解决了。而且,还会变得很有方法,有逻辑。你可以依着那个逻辑去想你该怎么样达到你的目标。

但如果你没有拆解到这一步,每天就只能对着“我该怎样找到最适合我的另一半”这个问题来想,大概就真的很难找到了。

| 用公式思维拆解问题

还有个拆分问题的故事特别适合在这里跟你分享。曾经有一个麦肯锡的人跳槽到了谷歌,给谷歌的一个广告部门做业务管理,负责这个部门提升广告业务的收入。
他入职的第一天就问了下属们一个问题,“我们这个部门的业务公式是什么?”他的下属们就都被问蒙了,他们想,“我们部门没有什么公式啊。”

后来,这个麦肯锡来的人通过和整个部门的人沟通,最终得出了他们部门的一个业务公式。这个公式就是: 广告收入=展现量×点击率×每个点击的价格 。

什么意思呢?广告部门是对广告收入负责的,而谷歌的广告是按照单次点击来定价的,每个点击都能够让广告主付出1块钱,点击的次数又是取决于有多少人看到了这条广告。也就是我们刚才这条公式里所讲的“展现量”。看到广告的用户里有多少人真的点击了也很重要,这个数字就是点击率。

所以,我们可以看到,在麦肯锡这个人来之前,整个部门的目标就只有一个,就是怎么提高广告收入。但该怎么做,其实没有人真的清楚。这就好像我们刚才所讲的怎么找到适合的另一半一样,这个问题就是一个没有被拆解到元问题的复杂问题。
有了这个公式以后,就相当于一个问题变成了元问题,现在大家就都知道了。我要提高这个部门的广告收入该怎么做呢?要么提高展现量,要么是提高点击率,要么是提高每个点击的价格,就只有这几种方法,非常的清晰可解决。

所以,每个复杂问题的背后都有这样可拆分的元问题。而在业务当中,拆分而来的小问题往往还有另一个词,就是KPI。也就是说,拆分问题其实就是老板们每天都在做的事情。

比如说老板的大目标是提高这个公司的营收。那为了实现这个目标,需要做到哪些部分呢?老板就会把这些KPI都拆分开来,然后分别安排给不同的部门和不同的个人。作为个体,可能你分到的那个目标就是该怎么样把点击率提高10%而已。

也就是说,如果你学会了拆解问题,也就学会了用你老板的思维来思考问题。这样也有助于我们反过来把很小的目标去融会贯通,用更高层的那个思维来要求自己。如果你没有掌握这个思维的话,很可能就会被KPI冲昏了头脑。这也是我之前这么多年工作经验总结下来的一个非常有用的教训。

所以,你在工作和生活中也都可以问自己一个问题,这件事情的公式是什么。其实,把一件事情公式化就是最好的拆解一件事情的方式。

在下一节中,我们就来讲如何公式化一切。

  1. 公式化拆解的两个案例

在上一节里我们讲了,把复杂问题拆分成一个公式,在解决问题里是特别重要的。这一讲,我就要专门用两个案例来给你示范,怎么样用一种公式化的思维来拆解我们所见到的一切问题。

| 煎饼摊的收入估算

第一个案例是卖煎饼。煎饼摊很常见,你有没有想过自己有一天可能会开一个煎饼摊,或者你有没有想过我们每天看到的这些煎饼摊,他们平均每个月到底能赚多少钱?
那下面,我们就来拆解煎饼摊的赚钱公式。假设:

煎饼摊的月利润 = 每天卖出的煎饼数量 × 每套煎饼的价格 × 每月工作天数 - 煎饼运营一个月的总成本;

进一步拆解到每日收入,以及每小时销售量,根据价格和成本:

煎饼摊的日收入 = 每天卖出煎饼的数量 × 每套煎饼的价格。

比如,我一天卖了100套煎饼,那每套煎饼10块钱,那么一天最终赚的钱就是1000块钱,这个就是一层拆解。但这个拆到最细了吗?其实还没有。每天卖煎饼的数量可以继续拆分为,每小时卖煎饼的数量乘以每天工作的小时数。即:

每天卖出煎饼的数量 = 每小时卖出煎饼的数量 x 每天工作的小时数。

进一步,怎么估算煎饼摊每天的工作小时数呢?还可以再做一个假设。我们大致认为煎饼摊每天工作的时间是从早晨8点开始到晚上6点结束,根据实际情况可能早晨生意最好,那么我们就可以假设每天早晨有3个小时比较忙的时间,这3个小时里,每个小时可以卖30套;晚上可能还会有一个小时比较忙的时间,这个时候也能卖30套;但其他时间,可能就比较闲,那么可以当成是6个小时的比较闲的时间,每个小时卖5套。

这样计算一下,我们全天能够卖150套煎饼。再假设每个月工作25天的话,每个月卖出的煎饼总数就是150套×25个工作日;再假设每套煎饼是5块钱,这样就能算出来每个月的收入了,就是18750元。

但是,这个收入并不是最后赚到手的钱,因为这里的收入还要扣除成本。我们假设每一套煎饼的原材料成本是3元钱,当然,实际也许到手会少一点。这样算的话,最终一个煎饼摊能够赚到手的利润就是7500元。

| 北京地铁客运量的估算

上面我们一起卖过了煎饼,下面我们再来看一个复杂一点的问题,就是如何估算北京地铁一天的运客量。

首先,我们要想清楚这种问题该从哪个角度和用哪种方式来解答。比如对于运客量一般有供和需两个思考角度。从供给的角度来看,可以算出北京市地铁每天提供的运量;从需求的角度来讲,又可以算出北京市每天有多少人需要利用地铁出行。这两个方法都可以。

这里可能从供给的角度来看更简单一点。想一下:

北京地铁每日的运客量 = 地铁数量 × 每条地铁装载的人数

再对每个元素进行拆分:

地铁数量 = 北京的地铁线数 × 每条线同时运行的地铁数量 × 每辆地铁每天运行的次数;

每条地铁装载的人数 = 每辆地铁的车厢数 × 每节车厢的核定人数 × 上座率。

如果你坐的是北京地铁的话,上座率大概会超过200%。这样总结一下,我们就可以得到一个看起来很复杂的一个公式:

北京地铁每日的运客量 = 北京地铁线数 × 每条线同时运行的地铁数量 × 每辆地铁每天运行次数 × 每辆地铁车厢数 × 每节车箱核定人数 × 上座率。

最后,我们可以给这些量赋值,比如北京地铁线数假设为10条,每条线同时运行的地铁数量是10辆,每辆地铁每天运行次数假设为10次;每辆地铁车厢数,可能可以根据经验和感觉假定为30节;每节车厢里的人,假定为50人,上座率假设为100%。那么用这样一个简单的数学公式,就可以估算得到北京地铁每日的运客量是150万。
我回去查了一下数据,发现在2007年的时候,北京地铁的日均客运量就是180万左右,可以说我们算这个数不是那么离谱。我要讲的是说,估算到这个差距已经是非常理想的结果。而且,你一定要明白最终这个结果肯定不是最重要的,我上面算的这些逻辑肯定也有错误。但是, 你要体会的是该如何把一个问题拆解成这种公式化的思路和逻辑。

在这讲里面我们其实是通过日常生活中的案例,对之前提到的如何用公式化的方式来拆解问题做了一个很详细的解释。

本节思考题
最后,我想再给你留一道思考题来对这个问题进行练习。
你可以试着用我们所讲的像卖煎饼,或者说计算地铁客运量这样的公式化拆解的方法,去试着拆解另一个生活中的问题。这个问题就是, 如何公式化你所在的城市有多少家理发店?

IPCreator:区数街道数社区数*平均理发店数

  1. 拆解问题的推理模式

在拆解问题时,公式化思维是一个很重要的思维。在这一讲里,我就要告诉你,在公式化思维的基础之上,你还可以用以下的步骤来拆解问题: 一个叫假设驱动,一个叫构建问题树。

| 假设驱动

“假设驱动”的理念其实是从科研界沿用出来的,它的意思是,在应对复杂问题、寻找解决方案之前,我们先来做一个尽可能合理的假设。假设问题可能出现在某个细分的问题点上。 比如说找女朋友这个复杂问题,很多时候我们都会下意识地假设说,你找不到女朋友肯定是因为长得不够好看。

假设驱动的好处有两点:

第一,让我们在解决问题的过程中能够树立一个比较明确的目标。 有了这个假设,我们就有了一个需要证明,或者证伪的对象。我们就会有目的地去收集信息,收集数据,也会有逻辑地去验证假设,从而得到那个最终的结果。

这个假设本身最后被证明或者证伪其实都不是最重要的,重要的还是整个思考问题的逻辑和方法。如果你得到了跟这个假设相反的数据,其实也很好,那样的话你就可以去修改你的假设了。

我们通过不断修改假设,然后再根据新的假设去收集数据信息,再验证假设,修改假设,然后不断地重复这个流程,最终得到的就是最接近真实的那个结果。

假设驱动的第二个好处是省时省力。 因为假设驱动可以让我们一直沿着一条最大概率可能会发生的这个主线去行进。这样,我们就能把有限的时间和资源都分配在那个最可能解决问题的事情上。

| 搭建问题树

在假设驱动之后,拆解问题的第二个重点叫做搭建问题树结构。问题树又叫逻辑树、演绎树。它其实就是一个树状结构的东西,它的一个日常的应用其实我们每个人可能都看到过,就是思维导图。

下图就是我总结的我们这个“怎样成为解决问题的高手”的框架,从中你也能感受到问题树对于有逻辑的组织问题点的价值。

通过拆分,我们就能够把这样一个大的问题拆分为若干的小问题。问题树的结构主要就是为了让你在想问题的时候有一条线,你可以跟着它走,而不是漫无目的地去找答案。

这么做有两个好处: 一个是你会更容易找到问题所在;另一个是你可以根据拆解,把树上的问题都变成任务,清晰、没有遗漏地分配给其他人。

那么,面对一个复杂问题,该怎么搭建它的问题树结构呢?一共可以总结成五个小步骤:

第一,你要找出问题中存在的核心问题和起始问题。这点特别重要,之后的每一步都是基于这一点;

第二,要确定导致核心问题和起始问题的主要原因;

第三,要确定核心问题和起始问题导致的主要后果。第二点讲的是原因,现在是后果;

第四,根据以上的因果关系画出这个问题树;

第五,反复审查问题树。看看哪里还缺东西,进行最后的补充和修改。

这五步之后,我们就完成了一个特别好的问题树结构了。

| 两个案例

简单举例,我们用这门精品课最开头讲的大老板的例子来看:

第一点,我们要找出这个问题存在的核心问题和起始问题。也就是大老板遇到的一个他通过经验也解决不了的问题;

第二点,这个问题背后的主要原因是什么呢?要么就是这个大老板遇到了他没遇到过的问题,要么就是这个问题他哪怕遇到过,但是传统的解决方案不奏效了。

第三点,这个问题导致的主要后果,要么是这家公司的营收会下降,老板解决不了这家公司的经营问题了;要么是老板需要花更高的成本去雇佣一个外部的顾问来帮他解决这个问题。

通过这个逻辑,我们就可以画出一个很完整的问题树结构。

最后我们再举一个例子,告诉你怎样同时运用假设驱动和问题树结构。

比如,你所在部门的利润下降了30%。那么基于利润,我们就可以画出一个问题树结构了。我们可以把利润分拆为收入和成本。另外,我们根据自己对这个部门业务的理解,认为利润的问题大概率出在成本结构上。

所以,我们可以提出一个假设,是成本上的问题导致了这个公司利润的下降。那根据这个假设,就能够驱动我们去对成本结构进行更深入和细致的研究,也就省却了可能花在收入部分的精力和时间。这样,通过假设驱动和问题树结构,达到了高效、有逻辑地解决问题的目的。

总结一下,这一节我给你讲了拆解问题的两大方法,怎么用假设驱动和怎么搭建问题树结构。如果有点难,没关系,请你再听一遍,它能帮你非常有效率地理清思路。

  1. 提出解决方案并总结问题

讲过拆解问题和对比数据之后,这节我们要讲的是解决问题的最后两部分,寻找解决方案和总结问题。

先来讲第一部分,寻找解决方案。

听到现在,你是不是会觉得已经适应我们解决问题的方式了。我们花了大量的时间和精力在前面几个步骤上,这和没有经过训练的人的解决问题的方式是完全不同的。通过这样的方式,你可以明显对比出没有方法论和有方法论这两种方式的好坏。

| “MECE法则”的综合运用

我们还是回到上一讲提到的饮料品牌的例子上来。

其实,现在寻找解决方案已经不是什么大的问题了,因为你已经知道具体的问题出在哪了。这家公司的问题就是,整个碳酸饮料市场的下降,造成了公司最终利润的下降。之后,我只要自然而然地提出针对性的解决方案就好了,那就是要把公司的更多精力花在茶饮料上。

当然,这个案例是被我主观简化的,实际生活当中的定位问题一定更难。而且,定位出来的也很可能还是略微复杂的问题和情况。在寻找解决方案的时候,我们其实还可以继续用之前讲的思维方式,也就是继续用假设驱动和MECE的方式来寻找解决方案。

比如说我们还是用找女朋友的这个例子来看,我们该怎么解决这个问题呢?

之前我们已经分析了,可能找不到女朋友的原因有外貌方面、性格方面,或者渠道方面等等。针对这三点,怎么来设计解决方案呢?比如外貌层面,我们可以用MECE的方式分成头发、脸、上半身、下半身和脚。

这么分的话,虽然听起来是有点奇怪,但是它就是一个MECE的分法,我们就可以尝试通过改变发型或者改变眼镜的搭配等等来改变一个人的外貌。通过这样的方式你就可以得到一个比较MECE的解决方案的结果了。

得到了解决方案以后,我们还有一个很好玩的方式去检验这个结果。这个方式就叫做“饼干厂方法”。

饼干厂方法其实是个隐喻,我们用饼干厂去形容那些门槛很低的生意。它的意思是,如果一个解决方案通过层层的拆解和定位,最终它也适合任何一家公司的话,那它很可能就不是一个特别好的方案了。

| 汇报和总结

最后,终于一切的工作我们都做好了,也准备好了解决方案了。在职场之中,我们还需要做的最后一项任务,就是汇报和总结。

总结问题的重要性其实很多人都低估了。怎么突出表现自己的能力,怎么说服别人这是一个好的方案,或者说怎么争取更多的资源。其实这些问题很大程度都取决于你汇报得如何,也就是你解决问题的能力。

这就又好像医生看病一样了。比如,你是一个特别好的医生,你看出来一个病人立即就需要动手术,你也知道如何做这个手术。但是,你总不能在第一次看到这个病人的时候就说,你一定有某某疾病,你现在一定要动手术,不然的话可能这个病情就会加重。这个时候,病人肯定不相信你。

那你该怎么做才能更好地达到你的目的呢?就是你要通过一些分析、研究和测试,逐步跟别人解释。说明你现在遇到的这个问题是什么,你都有什么选择,为什么你要做这个手术,为什么你能够把这个手术做好。这其实就是一个正常人的逻辑。

所以,有的时候问题和解决方案还都不是最重要的,正确与否甚至都不是最重要的。在实际生活当中,别人是否觉得是对的,要比你自己是否觉得是对的要更重要一点。

具体要怎么做呢?我们下面就来尝试解答一下这个问题:

首先,我们要从结论不断地分拆,直到那个不可辩驳的事实;

其次,每一个层级都要控制要点的数目,要突出重点。 因为很多时候,我们去跟别人聊天的时候,就喜欢说一大串的论点。但最后别人记住的可能只是其中的一个很小的点。某一个论点中的数据可能也有很多,但是你讲太多就会混淆了重点。

比如,我们还是以那家利润下降了30%的公司为例。没有经验的人可能会总结说,我们去年的利润下降了30%,那做了很多研究以后,发现我们必须把精力都放在茶饮料上才能救这家公司,请给我们两三百万的预算吧。

这样的做法就好像你走进一家医院,就要别人给你动手术一样。那么有方法的人会怎么讲呢?

他会讲,结论是如果我们把整体市场预算的20%加到茶饮料上,这家公司的利润就会提高30%。这是为什么呢?

第一,我们公司目前已有的最大收入来源,碳酸饮料去年下降了50%,这是公司去年整体利润下降30%的最主要的原因。而且,经过对比,这还是一个全行业的现象,并不是因为我们有什么地方做得不够好;第二个原因是,我们的茶饮料去年收入上升了80%,而且我们可以看到整个行业都在特别快速地增长,这还是我们并没有投入什么市场预算的前提之下完成的;最后一个原因是因为消费升级的大趋势,人们都更注重饮食健康了。所以,茶饮料市场未来的增长预计会以每年200%的速度增加,从长远的市场前景来看也是非常巨大的。

这样,我们对比一下就可以明显感觉到后者的方式更容易让人接受,而且也会让大家觉得这个人的水平更高一点。

以上就是我们这节所讲的解决问题的四大步骤当中的最后两步,通过熟练运用这些步骤,你会让所有人都觉得你就是那个解决问题的高手。

  1. 人生也是可拆解的复杂问题

我们讲了很多明确问题、拆解问题的方法,其实也都是可以直接用在人生这个大问题上的。

| 人生的IPO模型

根据我们强调过很多次的四大步骤:

首先我们来明确和理解人生这个问题。 人生肯定是最难的问题,也是最差异化的,不同的人在不同的人生阶段都会遇到不同的问题。比如恋爱,比如求学、求职,或者身体健康问题等等。但我觉得其实人生最根本的问题就是寻找自己,寻找人生的意义和目标。

第二步就是拆解和定位问题。 我会把人生拆解成一个很有趣的公式,叫做IPO模型。什么意思呢?人生就是输入、处理和输出这么一个过程。输入的英文是input,处理的英文是process,输出的英文是output,这三个单词的首字母结合起来就是IPO。


图为人生的IPO模型图

比如对一个产品经理来说,他的输入就是用户的需求,中间处理的过程就是所有的那套产品逻辑,最终的输出就是一个产品的设计。这就是产品经理的IPO。

比如,对一个咨询师来说,他的输入就是一个客户的需求,整个处理逻辑就是咨询的商业逻辑,最终的输出就是一套解决方案。

所以,其实你如果想一下自己所做的任何事情,你都会发现这些事情都可以被套用到这个IPO模型当中。有了这个公式以后,下一步就是按照我们所讲的用假设驱动的方式去解决你人生的问题。

你会发现,IPO模型已经把人生拆解得非常之细了,但它还缺一个东西。就是人生最终的一个目标。如果有了这个目标,你就可以把你的输出和目标进行对比,去得到一个正向的反馈。然后,不断修正你的输入,修正你的处理,最终得到不同的输出。

比如,你的目标可能是要创业,那你就可以通过不同的输入,比如说像我一样去百度做产品,或者说去做风险投资等等,去积累你自己的资源和能力、产品相关的能力和融资相关的能力。最终得到的结果都是怎么样更好地向创业的目标而去。

而对于很多人来说,怎么找到这个假设,怎么找到人生的这个目标,其实是最难的一个点。

| 四个典型解决方案

根据对IPO模型的拆解,我们现在就再进入到第三步,寻找解决方案。如何找到人生的目标呢?通过不断拆解和试错,我可以给你提供以下四点解决方案。

第一,要不断地问自己为什么。 这是我使用过的一个特别好用的招,就是你不断地问自己为什么,最终达到一个和自己最和谐统一的结果。

比如说你想去一家咨询公司,那你就要问自己为什么想去。是觉得咨询公司赚钱更多吗?还是觉得你想和一些聪明人在一起工作。你要不断地问自己为什么,最终才能找到你自己最基本的那个动力。

第二,列一个清单,然后排序做选择。 这个其实很多人可能都尝试过,比如说在你当时高考选学校,以及选学校专业的时候可能就用过一样的方法。

第三种方法也很有意思,就是假设一种无条件获得的极端情况。 什么意思呢?就是说很多时候我们做选择的时候,其实选择的不只是那个结果本身,我们还会把那个达到结果的过程计算在内。这个过程有的时候可能是很痛苦的。

比如你可能想要出国,但是,你一旦考虑到出国路上所有要经历的一些考试,可能你就会打消这个念想了。但这个时候,如果你假设出国这个选择是无条件摆在你面前的,是不需要你付出任何东西就可以得到的,那你会不会选它。

这个时候你所做的选择其实才是最真实的,最贴近你内心所想的。

最后一个方法是不断地了解你的选择,不断地试错。 很多东西还是需要不断尝试才能知道,这点也是非常重要的。就是你怎么样找到那个目标,怎么样真正找对你的假设。

课程小结

最后,我想对这个精品课做的一个小结。通过我们这门课所讲的所有内容,希望你不管之后再遇到任何的问题,无论是人生,还是人生之下的所有问题,都不会再感到害怕或者迷茫。

因为你知道,你自己就是那个解决问题的高手。原因在于:

第一,你理解了解决问题的定义,知道靠经验与靠逻辑的不同,也知道了解决问题的重要性和意义。

第二,你学会了解决问题必备的四个步骤,明确和理解问题,拆分和定位问题,寻找解决方案和总结问题。

第三,你通过大到人生,小到商业的很多实例,对这四个步骤都有了深刻的理解,也知道了该如何运用。

以上就是我们这次精品课的内容。恭喜你成为解决问题的高手。

How to solve problem

目录

第一部分 在教室里
目的
1.帮助学生
2.问题,建议,思维活动
3.普遍性
4.常识
5.教师和学生,模仿和实践
主要部分,主要问题
6.四个阶段
7.理解题目
8.例子
9.拟订方案
10.例子
11.执行方案
12.例子
13.回顾
14.例子
15.不同的方法
16.教师提问的方法
17.好问题与坏问题
进一步的例子
18.一道作图题
19.一道证明题
20.一道速率题

第二部分 怎样解题
一段对话

第三部分 探索法小词典
类比
辅助元素
辅助题目
波尔察诺
出色的念头
你能检验这个结果吗?
你能以不同的方式推导这个结果吗?
你能应用这个结果吗?
执行
条件
矛盾
推论
你能从已知数据中得出一些有用的东西吗?
你能重新叙述这道题目吗?
分解和重组
定义
笛卡儿
决心、希望、成功
诊断
你用到所有的已知数据了吗?
你知道一道与它有关的题目吗?
画一张图
检验你的猜想
图形
普遍化
你以前见过它吗?
这里有一道题目和你的题目有关
而且以前解过
探索法
探索式论证
如果你不能解所提的题目
归纳与数学归纳
创造者悖论
条件有可能满足吗?
莱布尼茨
引理
观察未知量
现代探索法
符号
帕普斯
拘泥与变通
实际题目
求解题、证明题
进展与成绩
谜语
归谬法与间接证明
多余
常规题目
发现的规则
格式的规则
教学的规则
将条件的不同部分分开
建立方程
进展的标志,
特殊化
潜意识活动
对称性
新旧术语
量纲检验
未来的数学家
聪明的解题者
聪明的读者
传统的数学教授
变化题目
未知量是什么?
为什么证明?
谚语的智慧
倒着干

第四部分 题目、提示、解答
题目
提示
解答
注释

跟波利亚学解题(rev#3)

一些故事

波利亚在他著名的《How To Solve It》中讲了这么一个有趣的心理学实验:

用一个缺了一条边的正方形围栏围住一只动物(狗、黑猩猩、母鸡、人类婴儿),在围栏的另一侧放上一个被试很想要的物体(对动物来说是食物,对人类婴儿来说是有趣的玩具),然后观察他们各自的行为。发现,狗在扒着围栏吠了几声发现无法通过的时候,不久便学会了从围栏的缺口的那一边绕出去,母鸡则朝着围栏一个劲的扑腾,不会想到绕弯子。此外,人类婴儿很快就学会了绕过障碍;而黑猩猩也学得很快(黑猩猩是和人类最近的灵长类亲属)。这个实验有力的证明了,动物解决问题的能力是进化而来的、天生的、硬编码在大脑的神经元网络里面的。clip_image001

事实上,不仅解决问题方面是如此,人类整个认知系统中绝大部分功能从本质上都是硬编码的,能在后天习得的只是“程度”的不同,而不是“本质”的不同。《动机心理学》中有一个令人印象深刻的一个例子:

先给小鼠喝某种甜味水(称为“可口水”),然后用X射线促使其产生反胃感,能使小鼠形成对这种味道的水的厌恶和回避(经典条件反射)。但如果不是在水里面加味道,而是在它喝水的时候伴随强光刺激(即让它喝“光噪水”),然后同样刺激其反胃,却无法使它养成对“光噪水”的厌恶。另一方面,如果不是促使其反胃(身体不适),而是用电击惩罚,则它无法形成对“可口水”的厌恶,而是形成对“光噪水“的厌恶。显然,小鼠对事件之间的关联的归因也具有着某种硬编码好了的倾向。在这个例子中,老鼠的大脑里面硬编码了“将身体不适(内部事件)归因于食物而不是闪光”、”将电击(外部事件)归因于闪光而非食物” 这种逻辑。

而人类也有类似的归因倾向。金出武雄在《像外行一样思考,像专家一样实践》中也提到,他认为人类的直觉实际上也是计算,捷径式的计clip_image002算,只不过由于我们目前还不了解人类大脑内神经元的全部结构(或者说“感性”的物质基础)这才把“感性”当成人类所特有的;金出武雄的这种观点跟心理学中的认知捷径不谋而合。实际上,越是高等的动物,大脑中用于处理特定问题的硬编码神经元回路就越是多和复杂。 例如,达尔文早在《人类和动物的情绪表达》中就先知先觉的提出了动物情绪的适应价值;《Mean Genes》列出了用于解决生存繁衍问题的特定认知倾向;《决策与判断》里面则列出了人类在解决更具一般性的决策问题中的一些系统性的、可预测的认知偏差;而《Predictably Irrational》更是把这个认识提高到方法论的层面,主张人类的非理性实际上是完全可预知的。事实上,所有这些观点都建立在一个基本事实的基础上,即人类大脑中的千亿神经元是由在漫长的进化过程中被塑造出来的分工明确的、ad hoc的一组子系统构成的。

越是高等的动物,解题能力越高,猩猩能够进行某种顿悟,在脑子里就构想出通过堆放墙角的箱子来帮助获取高高吊着的香蕉;而出于进化之树 顶端的人类则具有非比寻常的大脑,在人类整个进化的过程中,解决问题的能力一直在进化,所以说人脑中的神经元最重要的部分是为了解题而存在的也不为过。不同的人只是在解题能力程度上不同,并没有本质上能与不能的差异。

波利亚在《How To Solve It》中另外还举了下面这个例子:

一个原始人站在一条小溪前,他想要越过这条小溪,但溪水经过昨天一夜,已经涨了上来;因此他面临一个问题:如何越过这条小溪。他联想起以前曾经从一棵倒下并横在河上的树木上走过去,于是他的问题变成了如何找到这样一颗倒下并横在溪流上的树木。他环顾四周,发现溪流上没有这样的横着的树木,但他发现周围倒是有不少生长着的树木;于是问题再次变成了:如何使这些树木躺到溪流上。

在这个想像的故事中我们看到了一个问题是如何被一步步归约的:首先,原始人通过对一个已知的类似问题的联想认识到一个重要的性质:如clip_image003果有一棵树横在河上,我就可以借助这棵树过河。这就将一个无法直接解决的问题转化为了一个新的、已知的、并容易解决的问题。值得注意的是这里“联想”是极其重要的一个环节,联想可以将手上的问题与已知的类似问题联系起来,并从后者中吸取能够利用的方法。联想也能够将与问题有关的定理或性质从大脑的知识系统中提取出来。基本上,如果一个联想能够得到某个性质,而这个性质能够或者将问题往上归约一层,或者将条件往下推导一层,这个联想就是有用的。事实上,如果你仔细注意以下解题的过程,你也许会发现,所有的启发式思维方法(heuristics)实质上都是为了联想服务的,而联想则是为了从我们大脑的知识系统中提取出有价值的性质或定理,从而补上从条件到结论、从已知到未知之间缺失的链环。

一段历史

实际上,人类自从进入理性文明以来,不仅在不断的解题,还在不断的对自身的解题方法进行反省和总结。在这条路上,有一个真正光荣与辉煌的梦想,那就是发现人类解题的所有一般性法则,并借此建造出一台能够解决人类能够解决的所有问题的一般解题机。与物理中的建造永动机不一样,这个梦想并非遥不可及的,自从古希腊哲学家对人类心智的反省思考以来,许多著名的数学和哲学家为此建造了阶梯,Pappus,亚历山大学派最后一位伟大的几何学家,就曾在他恢弘的八卷本《数学汇编》中描述了其中的一种法则,他将它称为“分析与综合”,大意如下:

首先我们把需要求解的问题本身当成条件,从它推导出结论,再从这个结论推导出更多的结论,直到某一个点上我们发现已经出现了真正已知的条件。这个过程称为分析。有了这条路径,我们便可以从已知条件出发,一路推导到问题的解。

波利亚在他的三卷本中把这种做法叫做Working Backwards(倒过来解)。

笛卡尔也曾经试图将人类思维的规则总结为36条(最终完成了21条)。莱布尼兹,现代计算机实质上的发明者,也说到:

在我看来,没有什么能比探索发明的源头还要重要,它远比发明本身更重要。

再后来,捷克数学家波尔查诺也试图总结人类思维的本质规律,他在他的著作《科学的理论》中写道:

我根本不奢望自己能够提供任何超于其他天才所使用过的科学探索方法之外的新方法,从这个意义上,你别指望能在书中看到什么新的东西。但是,我会尽我的全力去总结所有伟大的思想者们共有的、思维的原则和方法,我认为即便是他们自己在思考的时候也未必全都意识到自己在使用什么方法。

再后来,就到了近代,随着科学技术的进步,心理学最活跃的子学科——认知科学——开始辉煌起来,人类开始向思维乃至自我意识的物质基础发起进攻。两位多才多艺的计算机科学家兼认知科学家,Herbert Simon(另外还是经济学家)和Allen Newell写出了世界上第一个一般性解题机的程序(GPS),虽然GPS只能解决很狭窄的一类问题,但这是第一个将“问题解决策略”和“知识”分离开来的程序。显然,在知识之外,人类的思维是有着一些一般性的指导规则的。事实上,波利亚在《数学与猜想》中写道,欧拉是最重数学思维的教学的,欧拉认为如果不能把解决数学问题背后的思维过程教给学生的话,数学教学就是没有意义的。

一些方法clip_image004

这些一般性的思维方法,就是波利亚用了整整三本书,五卷本(《How To Solve It》、《数学的发现》、《数学与猜想》)来试图阐明的。波利亚的书是独特的,从小到大,我们看过的数学书几乎无一不是欧几里德式的:从定义到定理,再到推论。是属于“顺流而下”式的。这样的书完全而彻底的扭曲了数学发现的真实过程。举个例子,《证明与反驳:数学发现的逻辑》在附录一中讲了一个非常有趣的例子:柯西当年试图将函数的连续性从单个函数推广到无穷级数上面去,即证明由无穷多个连续函数构成的收敛级数本身也是一个连续的函数,柯西给出了一个巧妙的证明,似乎漂亮地解决了这个问题。然而傅立叶却给出了一个噩梦般的三角函数的收敛级数,它的和却并不是连续的。这令柯西大为头疼,以至于延迟了他的数学分析教程的出版好些年。后来,赛德尔解决了这个问题:原来柯西在他看似无懈可击的证明中非常隐蔽(他自己也不知觉的情况下)引入了一个潜在的假设,这个假设就是后来被称为的“一致收敛”条件。当时我看到这里就去翻我们的数学分析书,发现“一致收敛”这个概念第一次出现的时候是这样写的:定义:一致收敛…

所以说,从这个意义上,《数学,确定性的丧失》从历史的角度再现了真实的数学发展过程,是一本极其难得的好书。而事实上,从真实的数学 历史发展的角度去讲授数学,也是数学教学法的最佳方法。不过,《数学,确定性的丧失》的弱点是并没有从思维的角度去再现数学发现的思维过程,而这正是波利亚所做的。

总结波利亚在书中提到的思维方法,尤其是《How To Solve It》中的启发式思考方法,有这样一些:clip_image005

时刻不忘未知量(即时刻别忘记你到底想要求什么,问题是什么。)莱布尼兹曾经将人的解题思考过程比喻成晃筛子,把脑袋里面的东西都给抖落出来,然后正在搜索的注意力会抓住一切细微的、与问题有关的东西。事实上,要做到能够令注意力抓住这些有关的东西,就必须时刻将问题放在注意力层面,否则即使关键的东西抖落出来了也可能没注意到。

用特例启发思考。一个泛化的问题往往给人一种无法把握、无从下手、或无法抓住里面任何东西的感觉,因为条件太泛,所以看起来哪个条件都没法入手。一个泛化的问题往往有一种 “不确定性”(譬如元素的个数不确定,某个变量不确定等等),这种不确定性会成为思维的障碍,通过考虑一个合适的特例,我们不仅使得问题的条件确定下来从而便于通过试错这样的手法去助探问题的内部结构,同时很有可能我们的特例中实质上隐藏了一般性问题的本质结构,于是我们便能够通过对特例的考察寻找一般问题的解。

反过来推导。反过来推导是一种极其重要的启发法,正如前面提到的,Pappus在他的宏篇巨著中将这种手法总结为解题的最重要手法。实际上,反向解题隐含了解题中至为深刻的思想:归约。归约是一种极为重要的手法,一个著名的关于归约的笑话这样说:有一位数学家失业了,去当消防员。经过了一些培训之后,正式上任之前,训练的人考他:如果房子失火了怎么办?数学家答出了所有的正确步骤。训练人又问他:如果房子没失火呢?数学家答:那我就把房子点燃,这样我就把它归约为了一个已知问题。

人类思维本质上善于“顺着”推导,从一组条件出发,运用必然的逻辑关系,得出推论。 然而,如果要求的未知量与已知量看上去相隔甚远,这个时候顺着推实际上就是运用另一个启发式方法——试错——了。虽然试错是最常用,又是也是最有效的启发法,然而试错却并不是最高效的。对于许多题目而言,其要求的结论本身就隐藏了推论,不管这个推论是充分的还是必要的,都很可能对解题有帮助。如果从结论能够推导出一个充要推论,那么实际上我们就将问题进行了一次“双向”归约,如果原问题不容易解决,那么归约后的问题也许就容易解决了,通过一层层的归约,让逻辑的枝蔓从结论上一节节的生长,我们往往会发现,离已知量越来越近。此外,即便是从结论推导出的必要非充分推论(“单向”归约),对问题也是有帮助的——任何不满足这个推论的方案都不是问题的解:譬如通过驻点来求函数的最值,我们通过考察函数的最值(除了函数边界点外),发现它必然有一个性质,即在这个点上函数的一阶导数为0,虽然一阶导数为0的点未必是最值点,但我们可以肯定的是,任何一阶导数不为0的点都可以排除,这就将解空间缩小到了有穷多个点,剩下的只要做做简单的排除法,答案就出现了。再譬如线性规划中经典的单纯形算法(又见《Algorithms》),也是通过对结论的考clip_image006 察揭示出只需遍历有限个顶点便必然可以到达最值的。此外很多我们熟知的经典题目也都是这种思路的典范,譬如《How To Solve It》上面举的例子:通过一个9升水的桶和一个4升水的桶在河里取6升水。这个题目通过正向试错,很快也能发现答案,然而通过反向归约,则能够不偏不倚的命中答案。另一些我们耳熟能详的题目也是如此,譬如:100根火柴,两个人轮流取,每个人每次只能取1~7根,谁拿到最后一根火柴谁赢;问有必胜策略吗,有的话是先手还是后手必胜?这个问题通过试错就不是那么容易发现答案了。同样,这个问题的推广被收录在《编程之美》里面:两堆橘子,各为m和n个,两人轮流拿,拿的时候你只能选择某一堆在里面拿(即不能跨堆拿),你可以拿1~这堆里面所有剩下的个橘子,谁拿到最后一个橘子谁赢;问题同上。算法上面很多聪明的算法也都是通过考察所求结论隐藏的性质来减小复杂度的,譬如刚才提到的单纯形问题,譬如经典面试题“名人问题”、“和最小(大)的连续子序列”等等。倒推法之所以是一种极为深刻的思维方法,本质上是因为它充分利用了题目中一个最不易被觉察到的信息——结论。结论往往蕴含着丰富的条件,譬如对什么样的解才是满足题意的解的约束。一般来说,借助结论中蕴含的知识,我们便可以更为“智能地”搜索解空间。举一个直白的例子,有人要你在地球上寻找一栋满足如下条件的建筑:层高(填空自己填),风格,__年代始建,… (省略若干约束条件)。对于这样一个问题,最平凡的解法是穷举地球上每一栋建筑,直到遇到一个满足条件的为止。而更“智能”的(或者说更“启发”的)方法则是充分利用题目里面的约束信息,譬如假若条件里面说要60层楼房,你就不会去非洲找,如果要拜占庭风格的,你估计也不会到中国来找,如果要始建于很早的年代的,你也不会去非常新建的城市里面去找,等等。倒推法是如此的重要,以至于笛卡尔当时认为可以把一切问题归结为求解代数方程组,笛卡尔的万能解题法就是首先将问题转化为代数问题,然后设出未知数,列出方程,最后解这组(个)方程。其中设未知数本质上就是一种倒推:通过设出一个假想的结论x,来将题目对x的需求表达出来,然后顺势而下推导出x。仔细想想设未知数这种手法所蕴含的深刻思想,也就难怪笛卡尔会认为它是那个解决所有问题的一般性钥匙了。

试错。试错估计是世界上被运用最广泛的启发法,你拿到一个题目,里面有一些条件,你需要求解一个未知量。于是你对题目这里捅捅那里捣捣,你用上所有的已知量,或使用所有你想到的操作手法,尝试着看看能不能得到有用的结论,能不能离答案近一步。事实上,如果一个问题的状态空间是有限的话,往往可以通过穷举所有可能性来找到那个关键的性质。譬如这样一个问题:有一个囚犯,国王打算处决他,但仁慈的国王给了他一个生还的机会。现在摆在他面前有两个瓶子,一个里面装了50个白球,一个装了50个黑球,这个囚犯有一个机会可以随便怎样重新分配这些球到两个瓶子中(当然,要保证不空),分配完了之后囚犯被蒙上眼睛,国王随机取一个瓶子给他,他在里面摸出一个球(因为蒙着眼睛,所以也是随机抽取),如果白球,则活,否则挂掉。问,这个囚犯如何分配,才能最大化生还几率。结合特例和试错法,这个题目的答案是很容易发现的。这样的题目还有很多。实际上,历史上很多有名的发现也都是无意间发现的(可以看作是试错的一种)。

调整题目的条件(如,删除、增加、改变条件)。有时候,通过调整题目的条件,我们往往迅速能够发现条件和结论之间是如何联系的。通过扭曲问题的内部结构,我们能发现原本结构里面重要的东西。譬如这样一个题目(感谢alai同学提供):A国由1000000个岛组成,岛与岛之间只能用船作为交通工具,有些岛之间有船来往,从任意一个岛都可以去到另外任一个岛,当然其中可能要换船。现在有一个警察要追捕一个逃犯,开始时他们在不同的岛上,警察和逃犯都是每天最多乘一次船,但这个逃犯还有点迷信,每个月的13日不乘船,警察则不迷信。警察每天乘船前都知道逃犯昨天在哪个岛上,但不知道他今天会去哪个岛。请证明,警察一定可以抓到逃犯(即到达同一个岛)。通过拿掉题目中一个关键的条件,观察区别,然后再放上那个条件,我们就能“感觉”到题目的内在结构上的某种约束,进而得到答案。
求解一个类似的题目。类似的题目也许有类似的结构,类似的性质,类似的解方案。通过考察或回忆一个类似的题目是如何解决的,也许就能够借用一些重要的点子。然而如何在大脑中提取出真正类似的题目是一个问题。所谓真正类似的题目,是指那些抽象结构一样的题clip_image007目。很多问题表面看是类似的,然而抽象结构却不是类似的;另一些题目表面看根本不像,然而抽象层面却是一致的。表面一致抽象不一致会导致错误的、无效的类比;而表面不一致(抽象一致)则会阻碍真正有用的类比。《Psychology of Problem Solving》里面对此有详细 的介绍。后面也会提到,

为了便于脑中的知识结构真正能够“迁移”,在记忆掌握和分析问题的时候都应该尽量抽象的去看待,这样才能够建立知识的本质联系,才能够最大化联想空间。

列出所有可能跟问题有关的定理或性质。这个不用说,我们在最初学习解题的时候就是这么做的了。
考察反面,考察其他所有情况。很多时候,我们在解题时容易陷入一种特定的手法,比如为什么一定要是构造式的来解这个题目呢?为什么不能是逼近式的?为什么一定要一步到位算出答案?为什么不能从一个错误的答案调整到正确答案?为什么这个东西一定成立?不成立又如何?等等。经典例子:100个人比赛,要决出冠军至少需要赛多少场。
将问题泛化,并求解这个泛化后的问题。刚才不是说过,应该通过特例启发思考吗?为什么现在又反倒要泛化呢?实际上,有少数题目,泛化之后更容易解决。即,解决一类问题,比解决这类问题里面某个特定的问题还要容易。波利亚称之为“发明者悖论”,关于“发明者悖论”,《数学与猜想》第一卷的开头有一个绝妙的例子,可惜这里空间太小,我就不摘抄了- _-||| clip_image008
以上是我认为最重要的,也是最具一般性的、放之四海都可用的思维法则。一些更为“问题特定”的,或更为现代的启发法,可以参见《如何解题:现代启发式方法》以及所有的算法书。不过,在结束这一节之前,还有两个有趣的启发法值得一提:

下意识孵化法。这个方法有点像老母鸡孵小鸡的过程:我们先把问题的吃透,放在脑子里,然后等着我们的下意识把它解出来。不过,不宜将这个方法的条件拉伸过远,实际上,除非能够一直保持一种思索的状态(金出武雄所谓“思维体力”),或者问题很简单,否则一转头去做别的事情之后,你的下意识很容易就把问题丢开了。据说庞加莱有一次在街上,踏上一辆马车的那一瞬间,想出了一个重要问题的解。其他人也像仿效,结果没一个人成功。实际上,非但马车与问题无关,更重要的是,庞加莱实际上在做任何事的时候除了投入有限的注意力之外,其他思维空间都让给了那个问题了。同样,阿基米德从浴缸里面跳出来也是如此;如若不是经过了极其痛苦和长时间的思索,也不会如此兴奋。如果你也曾经花过几天的时间思考一个问题,肯定也是会有类似的经历的。

烫手山芋法。说白了,就是把问题扔给别人解决。事实上,在这个网络时代,这个方法有着无可比拟的优越性。几乎任何知识性的问题,都可以迅速搜索或请教到答案。不过,如何在已知知识之外发掘出未知知识,如何解决未知问题,那就还是要看个人的能力了。数学界流传一个与此有关的笑话:如果你有一个未解决问题,你有两个办法,一,自己解决它。二,让陶哲轩对它感兴趣。clip_image009
除了波利亚的书之外,陶哲轩的《Solving Mathematical Problems》也对解题的启发式思路作了极有意义的介绍,他在书的第一章遵循波利亚的思路从一个具体的题目出发,介绍了如何运用波利亚在书中提到的各种启发式方法来对解题进行尝试。

总而言之,充分挖掘题目中蕴含的知识,是解题的最关键步骤。本质上,所有启发式方法某种意义上都是为此服务的。这些知识,有些时候以联想的方式被挖掘出来,此时启发式方法充当的便是辅助联想的手段。有时候则以演绎和归纳的手法被挖掘出来,此时启发式方法则充当助探(辅助探索)工具。

一点思考

  1. 联想的法则

人类的大脑是一个复杂而精妙的器官,然而某种程度上,人类的大脑也是一个愚蠢的器官。如果你总结过你解过的一些有意义的好题目,你会发现它们有一个共同点:没有用到你不知道的知识,然而那个最关键的、攸关成败的知识点你就是想不到。所以你不禁要问,为什么明明这个知识在我脑子里(也就是说,明明我是“能够” 解决这个问题的),但我就是没法想到它呢?“你是怎么想到的?”这是问题解决者最常问的一个问题。甚至对于熟练的解题者来说,这个问题的答案也并不总是很明确的,很可能他们自己也不清楚那个关键的想法是怎么“蹦”出来的。我们在思考一个问题的时候,自己能意识到的思维部分似乎是很少的,绝大多数时候我们能感知到的就是一个一个的转折点在意识层面显现,我们的意识就像一条不连续的线,在其上的每一段之间那个空档内发生了什么我们一无所知,往往我们发现被卡在一个地方,我们苦思冥想,然后一个知识(也许是一个性质,也许是一个定理)从脑子里冒了出来,或者说,被我们意识到,然后我们沿着这条路走一段,然后又卡住,然后又等待一个新的关键知识的出现。而至于这些知识是怎么冒出来的?我们可以对它们的“冒出来”提供怎样的帮助?我们可以在意识层面做一些工作,帮助我们的下意识联想到更多重要的知识吗?那些灵光一现的瞬间,难道只能等待它们的出现?难道我们不能通过一些系统化的步骤去“捕获”或“生成”它们?又或者我们能不能至少做些什么工作以使得它们更容易发生呢?

正如金出武雄在《像外行一样思考,像专家一样实践》中所说的,人类的灵感一定是有规律的,认知科学目前至少已经确认了人类思维的整个物质基础——神经元。 而既然它们是物质,自然要遵循物质的运行规律。只不过我们目前还没有窥破它们,但至少我们可以确信的是,它们在那里。事实上,不需要借助于认知科学,单单是通过对我们自己思维过程的自我观察,也许就已经能够总结出一些重要的规律了,也许,对自身思维过程的反观真的是人有别于其它动物的本质区别。

《专注力》当中有这样一个例子:一天夜里,你被外面的吵闹声叫醒了,你出去一看,发现有一群人,其中有一个人开着很名贵的轿车,他跟你说他们正在玩一个叫“拾荒者”的游戏,由于一些原因,他必须要赢这个游戏,现在他需要一块1.5m*1m的木板,如果你能帮忙的话,愿以一万美元酬报。你怎么办?被测试的大多数人都没有想到,只要把门拆给他就可以了(如果你想到了,祝贺你:-)),也许你会说现在的门都是钢的,没关系,那你有没有想到床板、立柜的门、大桌子的桌面之类的?这个问题测试的就是心理学上所谓的“范畴陷阱”,“木板”这个名词在你脑子里的概念中如果是指“那些没有加工的,也许放在木材厂门口的,作为原材料的木板”的话,那么“木板”就会迅速在你的下意识里面建立起一个搜索范畴,你也会迅速的反应到“这深更半夜叫我上哪去找木板呢?”如果你一下就想到了,那么很大的可能性是“木板”这个概念在你脑子里的范畴更大,更抽象,也许包含了所有“木质的、板状的东西”。

这就是联想的法则。

我们的大脑无时无刻不在对事物进行归类,实际上,不仅是事物,一切知识,都在被自动的归类。

在有关对世界的认知方面,被称为认知图式,我们根据既有的知识结构来理解这个世界,会带来很大的优势。实际上,模块化是一个重要的降低复杂性的手段。然而,知识是一把双刃剑,一方面,它们提供给了我们解决问题的无以伦比的捷径优势,“砖头是砌墙的”,于是我们遇到砌墙这个问题的时候就可以迅速利用砖头。然而另一方面,知识却也是思维的桎梏。思维定势就是指下意识遵循既有知识框架思考的过程。上面的那个木板的例子也是思维定势的例子。每一个知识都是一个优势,同时又是一个束缚。 著名的科幻作家阿瑟·克拉克有一句名言:如果一位德高望重的老科学家说某个事情是不可能的,那么他很可能是错的。所以,如何在获取知识优势的同时,防止被知识束缚住,是一门技术。

1
掌握这门技术的钥匙,就是抽象。在吸收知识的时候进行抽象,同时在面对需要用到知识的新问题时也要对问题进行抽象。就以大家都知道的“砖头”有多少种用途为例,据说这道题目是用于测试人的发散思维的,能联想到的用途越多,思维定势就越小。实际上,借助于抽象这个利器,这类题目(乃至更广的一类问题)是可以系统性的进行求解的,我们只需对砖头从各个属性维度进行抽象。譬如,砖头是——长方形的(长方形的东西有什么用途?还有哪些东西也是长方形的,它们都有什么用途?)、有棱角的(问题同上)、坚硬的、固体、有一定大小的体积的、红色的、边界线条平直的、有一定重量的… 对于每一个抽象,我们不妨联想还有其他什么物体也是具有同样抽象性质的,它们具有同样的用途吗?当然,除了抽象之外,还有“修改”,我们可以在各个维度上对砖头的属性进行调整,以期得到新的属性:譬如大小可以调整、固体可以调整为碎末、棱角可以打磨、重量也可以调整、形状也可以调整… 然后看看新的属性可以如何联想开去。

除了这个简单的例子之外,我们也不妨看一看一些算法上的例子,同样一个算法,不同的人来理解,也许你脑子里记得的是某个特定的巧妙技巧(也许这个技巧在题目的某步关键的地方出现,从而带来了最令人意外的转折点),然而另一人个记得得也许是“递归”这种手法,还有另外一个人记得的也许是“分治”这种更一般化的解题思路。从不同的抽象层面去掌握这道题目的知识信息,以后遇到类似的问题,你能够想起这道题所提供的知识的可能性是有极大的差异的。《Psychology of Problem Solving》的第11章举了这样一个例子:先让被试(皆为大学生)阅读一段军事材料,这个材料是说一小撮军队如何通过同时从几个不同方向小规模攻击来击溃一个防守严实的军事堡垒的。事实上这个例子的本质是对一个点的同时的弱攻击能够集聚成强大的力量。然后被试被要求解决一个问题:一个医生想要用X射线杀死一个恶性肿瘤,这个肿瘤只可以通过高强度的X射线杀死,然而那样的话就会伤及周围的良好组织。医生应该怎么办呢?在没有给出先前的军队的例子的被试中只有10%想到答案,这是控制基线。然后,在先前学习了军队例子的被试中,这个比例也仅仅只增加到30%,也就是说只有额外20%的人“自动”地将知识进行了转移。最后一组是在提醒之下做的,达到了75%,即比“自动”转移组增加了45%之多。这个例子说明,知识的表象细节会迷惑我们的眼睛,阻碍我们对知识的运用,在这个例子中是阻碍问题之间的类比。

抽象,则正是对非本质细节去枝减叶的过程,抽象是我们在掌握知识和解决问题时候的一把有力的奥卡姆剃刀。所以,无论是在解题还是在学习的过程中,问自己一个问题“我是不是已经掌握了这个知识最深刻最本质的东西”是非常有益的。

  1. 知识,知识

如果你是一个熟练的解题者,你也许会发现,除了一些非常一般性的、本质的思维法则之外,将不同“能力”的解题者区分开来的,实际上还是知识。知识是解clip_image010题过程中的罗塞塔碑石。一道几何题为什么欧几里德能够做出来我们不能,是因为欧几里德比我们所有人都更了解几何图形有哪些性质,借助于一个性质,他很容易就能抵达问题的彼岸;反之,对于不知道某个性质的我们,倒过来试图“发现”需要这样的性质有时几乎是不可能的。有人说数学是在黑暗中摸索的学科,是有道理的。并不是所有的问题都能够通过演绎、归纳、类比等手法解出来的。这方面,费马大定理就是一个绝好的例子,《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》一书描述了费马大定理从诞生到被解决的整个过程,事实上,通过对费马大定理本身的考察,几乎是毫无希望解决这个问题的,我们根本不能推导出“好,这里我只需要这样一个性质,就可以解决它了”,也许大多数时候我们可以,但那或者是因为我们有已知的知识,或者这样的归约很显然。而对于一些致命的问题,譬如费马大定理,最重要的归约却是由别人在根本不是为了解决费马大定理的过程中得出来的。运气好的话,我们在既有的知识系统中会有这样的定理可以用于归约,运气不好的话,就得去摸索了。

所幸的是,绝大多数问题并不像费马大定理这样难以解决。而且绝大多数问题需要用到的知识,在现有的知识系统里面都是存在的。我们只要掌握得足够好,就有希望联想起来,并用于解题。

当然,也有许多题目,求解它们的那个关键的知识可以通过考察题目本身蕴涵的条件来获得,这类题目就是测试思维本身的能力的好题目了。而如果这个性质根本无法通过对题目本身的考察得出来,那么这个题目测试的就是知识储备以及联想能力。

  1. 好题目、坏题目

在我看来,好题目即测试一个人思维的习惯的题目(因为知识性的东西是更容易弥补的,尤其是在这样一个年代;而好习惯不是一朝一夕养成的),它应有这样一些性质:

不需要用到未知的知识,或者
需要用到未知的知识,但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。

考察解题的一般性思路,而不是特定(ad hoc)的解题技巧,尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质,而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中得出来的。

1
2
3
4
考察思维能力:联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力(思维不落巢臼的能力)。


考察一般性的思维方法:通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整(分解、删除、增加等等)题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。

好题目举例:烙饼排序问题(考察特例启发法以及观察能力)、Nim问题(还有简单版本的取火柴问题)(烙饼排序问题和Nim问题可参见《编程之美》)、9公升4公升水桶倒6公升水的问题(考察倒过来思考问题的能力)、9点连线问题、6根火柴搭出4个面的问题、“木板”问题(考察思维定势,此外《心理学与生活》的第九章也有好几个经典的问题)、许多数论问题(观察能力、演绎能力、归纳能力)。此外,我们最近也在讨论好题目。

而坏题目呢:

好题目各有各的好,坏题目都是相似的。

坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair questions,什么是unfair,举个例子:一个人住在一栋非常高的楼上,每天早晨他乘电梯下到一楼,出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一半高度的楼层,剩下一半只能走楼梯上去,除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过,但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个,而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来,只可能某天我们碰巧遇到类似的场景也许才能想到。

知道答案的人也许会说答案很显然,但别忘了心理学上的事后偏见——一旦知道结果之后,所有指向结果的证据看上去都那么显然和充分,而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞,也许你会说“只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现了”,或者“看到下雨,那还不想到带伞么?”,然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下,这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释,除非某天我们碰到类似的问题,否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑,譬如除了身高之外还有:是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电梯、大厦是哪种大厦?这些因素重要吗?不重要吗?最令人头疼的是,在不知道答案的时候,我们也根本不知道他们重不重要,一个出谜语的人可能从任何一个微小的地方引申出某个谜语来;更头疼的是,我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关,譬如这样一个问题:一个人走进酒吧,问酒保要一杯水,酒保掏出一只枪,拉上扳机;这人说声“谢谢”,走了出去。这些题目固然有趣,但几乎没有价值。

值得注意的是,这样的问题跟著名的9点连线问题和6根火柴搭出4个面的问题(还有《如何解题:现代启发式方法》里面那个经典的“小球在盒内碰撞何时回到原轨迹”的问题)不同,后者的条件都在眼前,并且解的搜索空间无论如何很小,就看思维能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的,但unfair question则像许多谜语一样,随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语,因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息,加起来也不足以构成解题的充分条件;这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况,否则是无法解的。

最后,发散性思维其实是可以系统化的,参见前文“联想的规则”。

出题的误区:

最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或性质,而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过题目本身到达这个性质的,那这就属于知识性的题目。

虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的,但有些题目更为知识性,尤其是当解题中需要用到的定理或性质并不那么trivial的时候。

一个最好的题目就是问题明明白白,而且最终的解也没有用到什么神秘的定理,但要想获知到解,取决于你会不会思考一个问题(参见“好问题”)。譬如烙饼问题和Nim问题,还有许许多多问题简洁明确但很锻炼思考的算法问题。

  1. 一个好习惯

在解题的过程中,除了必要条件——知识储备——之外,对于一些并不涉及什么你不知道的定理的题,很大程度上就要看思维能力或者习惯了。而在思考一个问题的时候,最容易犯的一类错误就是忘了考虑某种可能性,不管这种可能性是另一种做法(譬如只顾着构造一个能一步得出结果的算法,没记得还可以从错误情况逼近。譬如只顾着正着推导,却忘了可以反过来推。只顾着反过来推,居然忘了可以考察简单特例。试了各种手法,却发现忘了考虑题目的某个条件。觉得试遍了所有可能性,已经走不下去了,然后其实在思维的早些时候就已经落入了思维陷阱。等等)事实上,即便是一个熟练的解题者也容易犯顾此失彼的问题,因为我们一旦意识到一个看似能够得到结论的解法,整个注意力就容易被吸引过去,而由于推导的路径是很长的,所以很容易在一条路上走到黑,试图再往下走一步就得出解。却忘了回过头来看看再更高的层面上还有没有其它手法,思路上有没有其他可能性。

而对于像我这样目前尚不谙熟所有思维方法的人来说,则更容易犯这样的错误。为了避免这样的错误,一个有效的办法就是将自己的思考过程(中的重要环节)清晰的写在纸上(称为“看得见的思考”),这有如下几个好处:

人在思考一个问题的时候,就像是在黑暗中打着电筒往前走(事实上,我们的工作记忆资源是有限的,有研究证明我们只能在工作记忆里面持有7加减2个项目;此外认知负荷也是有极限的),每一步推导,每一步逻辑或猜测都将我们往前挪一步,然而电筒的光亮能找到的范围是有限的,我们走了几步发现后面又黑了。有时候,我们是如此努力地试图一下就走出很远,同时又老是怕忘记目前已经取得的进展和重要结论,结果意识的微光就在一个很小的范围内打转,始终无法往前走出很远。而将思维过程记录下来,则给了我们完全的回顾机会。如果你是经常做笔记的人,你肯定会发现,有时候一个在脑子里觉得两句话就能说完不需要记下来的东西,一旦开始往纸上写下来,你就自然而然能得出更多的结论和东西,越写越多,最终关于你的问题的所有方面都被推导出来展现在你面前。

思考问题时的注意力是自上而下控制大脑的神经处理过程的,当我们集中注意力在某一个过程上时,其它的过程就会受到抑制。我们平常都遇到过一些时候,由于集中注意力从而忽略了周围发生的事情的时候(处理环境输入的神经回路受到抑制)。所以,当我们竭尽全力将一些非常重要的因素控制在工作记忆里面的时候,实际上很大程度上抑制了其余的思考——可以想见如果科比在跳投的瞬间集中注意力思考跳投的各种技术要素的话会发生怎样的灾难。此外,这么做还占用了宝贵的工作记忆空间,从这个意义上,借助于纸笔,将思考的东西写下来实际上就是扩充了我们的工作记忆,增大了思维的缓存。注意,这倒不是说思考问题不需要集中注意力,而是说由于将项目维持在工作记忆中需要很大的认知精力,使得我们的注意力无法暂时移开去思考其它相关的子问题,而写到纸上的话我们就减轻了工作记忆的负担,可以转移注意力去集中思考某个子问题;同时我们又可以随时回过头来,重新将以前想过的结论装入记忆(内存),完全不用费心去阻止它们被我们的工作记忆遗忘。

一句话从嘴里说出来,或者写到纸上,被视觉或听觉模块接收,再认知;跟在心里默念所产生的神经兴奋程度是不一样的。我们都有过这样的经历:一句令人不愉快的话,我们心里清楚,但就是不愿意自己也不愿意别人从嘴里说出来。同样,将思考的过程写到纸上,能够激起潜在的更多的联想。为什么会这样的另一个可能的原因是我们大脑中思维过程的呈现形式和纸上的表现形式是不一样的,既没有那么严格、详细也没有那么多的符号(如数学符号)——再一次,工作记忆资源是很有限的——而后者,作为视觉线索,可能激起更多对既有知识的回忆。

我们在思考问题的过程中容易落入思维定势,不知不觉就走上来某条“绝大部分时候是如此”的思维捷径,对于一些问题而言这固然能够让我们快速得到解,但对于另一些问题而言却是致命的。我们容易在逻辑的路径上引入想当然的假设,从而排除某种不该排除的可能性或做法。通过将思路过程写到纸上,我们便能够回头细细考察自己的思考过程,觉察到什么地方犯了想当然的毛病。

我们在思维过程中的每一个关键的一步也许都有另一种可能性,一个问题越复杂,需要推导的步骤就越多,我们就越容易忽视过程中的其它可能性,容易一条路走到黑。而将思维过程写下来,在走不下去的时候可以回过头看看,也许会发现另一种可能性,另一条“少有人走的路”。

最后,通过将思维过程写下来,我们就能够在解题完毕之后完整的回顾自己的整个思维过程,并从中再次体悟那些关键的想法背后所发生的心理活动过程,总结思考中的重要的一般原则,分析思维薄弱的环节,等等。就算是最终发现并没有到达结果的无效思路,也未必就没有意义,因为不是因为错误的思路,也不会知道正确的思路,况且对一道题目用不上的思路,对其它题目未必用不上。通过对自己思维过程的彻底反思,就能从每次解题中获得最多的收获。

  1. 练习,练习

本质上,练习并不产生新能力。然而练习最重要的一个作用就是将外显记忆转化为内隐记忆。用大白话来说就是将平时需要用脑子去想(参与)的东西转化为内在的习惯。 譬如我们一开始学骑自行车的时候需要不断提醒自己注意平衡,但随着不断的联系,这种技能就内化成了所谓的程序式记忆(内隐记忆的一种),从而就算你一边骑车一边进行解题这样需要消耗大量脑力的活动,也无需担心失去平衡(不过撞树是完全可能的,但那是另一回事)。

同样,对于解题中的思维方法来说,不断练习这些思维方法就能做到无意识间就能运用自如,大大降低了意识的负担和加快了解题速度。

不过,并非所有的练习方法都是等效的,有些练习方法肯定要比另一些更有效率。譬如就解题来说,解题是一项涉及到人类最高级思维机制的活动,其中尤其是推理(归纳和演绎)和联想。而后者中又尤数联想是最麻烦的,前面提到,绝大多数时候启发式方法实质上都是在为联想服务——为了能像晃筛子那样把你脑袋里那个关键的相关知识抖落出来。并且,为了方便以后能够联想,在当初吸收知识的时候就需要做最恰当的加工才行,譬如前面提到的“抽象”加工,除此之外还有将知识与既有的知识框架整合,建立最多的思维连接点(或者说“钩子”)。

对于知识的深浅加工所带来的影响,《找寻逝去的自我》里面有精彩的介绍(里面也提到了提取线索对回忆的影响——从该意义上来说运用启发式思维方法来辅助联想,其实就是进行策略性记忆提取的过程)。最后,人类的无意识思维天生有着各种各样的坏习惯,譬如前面提到的范畴陷阱就是创新思维的杀手,譬如根据表面相似性进行类比也是知识转移的一大障碍。更遑论各种各样的思维捷径了(我们平常进行的绝大多数思考和决策,都是通过认知捷径来进行的)。所以说,如果任由我们天生的思维方式发展,也许永远都避不开无意识中的那些陷阱,好在我们除了无意识之外还多出了一层监督机制——意识。通过不断反省思维本身,时时纠正不正确的思考方式,我们就能够对其进行淬炼,最终养成良好的思维习惯。反之被动的练习虽然也能熟能生巧,但势必花的时间更多,而且对于涉及复杂的思维机制的解题活动来说,远远不是通过钱眼往油壶里面倒油这样简单的活动所能类比的,倒油不像思维活动那样有形形色色的陷阱,倒油不需要联想和推理,倒油甚至几乎完全不需要意识的辅助性参与,除了集中注意力(而解题活动就算对于极其熟练的人来说也不断需要大量的意识参与)。所以对于前者,良好的思维习惯至关重要,而反省加上运用正确的思维方法则是最终养成良好思维习惯的途径。

练习还有另外一个很重要的作用,就是增加领域知识(关于知识在问题解决中的作用,前面已经提到过)。我们看到很多人,拿到一道题目立即脑子里就反应出解法,这个反应快到他自己都不能意识到背后有什么逻辑。这是因为既有的知识(我们常说的“无他,实在是题做得太多了”)起到了极大的作用,通过对题目中几个关键元素或结构的感知,大脑中的相关知识迅速被自动提取出来。而对于知道但不熟悉相应知识(譬如很早我们就知道归纳法,但是很久以后我们才真正能够做到面对任何一道可能用归纳法的题目就立即能够想到运用归纳法),或者干脆就不知道该知识的人来说,就需要通过启发法来辅助联想或探索了。后者可以一定程度上代偿对知识的不够熟悉,但在一些时候知识的缺失则是致命的(参见上面第2点)。不过要注意的是,那种看到题目直接反应出答案的或许也不是纯粹的好事,因为这样的解题过程严重依赖于既有知识,尤其是做过的类似的题目,其思维过程绝大部分运用的是联想或类比,而非演绎或归纳。更重要的是,联想也分两种,被动联想和策略性联想(参考《找寻逝去的自我》),这里用的却是被动联想。所以,能直接反应出答案并不代表遇到真正新颖的题目的时候的解决能力,后者由于不依赖于既有领域知识,就真正需要看一个人的思维能力和习惯究竟如何了。

  1. 启发法的局限性

首先肯定的是,启发法一定(也许很大)程度上是可以代偿知识的不足的(这里的知识主要是指大脑中的“联系”,下面还会提到另一种知识,即hard knowledge)。譬如,一道题目,别人直接就能通过类比联想到某道解过的题目,并直接使用了其中的一个关键的性质把题目给解出来了。你并没有做过那道题目,这导致两种可能的结果:一,你就是不知道那个性质。二,你虽然“知道”那个性质,但并没有在以前的解题经历中将那个性质跟你手头的这个问题中的“线索”联系起来,所以你还是“想不到”。后一种可以称为soft knowledge,即你“知道”,但就是联想(联系)不起来。所谓不能活学活用,某些时候就是这种情况,即书本上提供什么样的知识联系,脑子里也记住什么,而没有事后更广泛地去探索知识之间的本质联系(总结的作用)。前一种则可以称为hard knowledge,即你就是不知道,它不在你的脑子里。

而启发式方法在两个层面上起作用:

辅助联想起soft knowledge:譬如,特例法是一种启发式思考方法,它通过引入一个简单的特例,特例中往往蕴含有更多的“线索”,通过这些线索,有可能就会激发起对既有的知识的联想。另外一种强大的辅助联想办法就是对题目进行变形,变形之后就产生了新的视觉和语意线索,比如式子的对称性、从直角坐标到极坐标从而引发对后者的知识的联想等等。大量的启发式方法实际上的作用就是辅助联想,通过对题目中的线索的发掘,激起大脑中已知相关知识的浮现。在这个意义上,相对于那些能够直接联想到某个性质的人,那些不知道但可以通过启发式思维联想到的,启发式思维就提供了一种“曲径通幽”的策略性联想。还是以经典的例子来说:砖头的用途。有人立即能够直接联想到“敲人”。有人也许不能。然而启发式联想策略“抽象”就能够帮助后者也能够联想到“敲人”,因为“抽象”策略启发人去考虑砖头的各个性质维度,如“质地”,“形状”,当你考察到“质地坚硬”,“棱角”,离“敲人”的功能还会远么?本质上,能够直接联想到“敲人”功能的人是因为大脑中从砖头到敲人这两个概念之间的神经通路被走过了很多遍(譬如由于经常拿砖头敲人),神经元之间的联系相当“粗”(形象的说法,严格的事实请参考《追寻记忆的痕迹》),而不经常拿砖头敲人的人呢,这个联系就非常的弱,乃至于根本激不起一次神经冲动。那么为什么通过启发式方法又能联想到呢?因为启发式方法相当于带入了一种新的神经调控回路,首先它增加你联系到砖头的属性维度上的可能性,使得“质地坚硬”、“棱角”这两个语意概念被激活起来(注意,如果没有启发式方法的参与,这是不会发生的),一旦后者被激活起来,从后者到“敲人”的联系就被激活起来了。从本质上,解题中的启发联想方法做的也就是这个工作。而越是一般性的启发式方法就越是能对广泛的问题有帮助(譬如《How to Solve It》中介绍的那些,譬如分类讨论、分治、乃至我认为很重要的一个——写下自己的思维过程,详细分解各个环节,考察思维路径中有无其它可能性(我们很容易拿到一道题目便被一种冲动带入到某一条特定的思路当中,并且遵循着“最可能的”推导路径往下走,往往不自觉的忽略其它可能性,于是那些可能性上的联想就被我们的注意力“抑制”了。))。

辅助探索出hard knowledge:倒推法是一种启发式思考方法,它将你的注意力集中到问题的结论中蕴含的知识上,一旦你开始关注可能从结论中演绎出来的知识,你就可能得到hard knowledge,即并不是早先就存在你脑子里,但是可以通过演绎获得的。上文中的最小和子序列中的倒推方法就是一个例子。

而启发式方法的局限性也存在于这两个方面:

有些联系是不管怎样“启发”也想不起来的。譬如“当布被刺破了,干草堆就重要了”,你怎么解释这句话?如果有人提示一下“降落伞”,每个人都会恍然大悟。这是因为从“布”到“降落伞”之间的单向联系是近乎不存在的。而且就算运用启发法,譬如,考虑所有布做的东西,也基本绝无可能想到降落伞,因为同样,从“布做的东西”到“降落伞”之间的关联也是极其微弱的。我们脑子里只能保留那些最最重要的联系。(如果一提到布,“降落伞”和“衣服”、“被单”、“窗帘”等日常物品以同等重要级别闪现,就乱套了。)那为什么从降落伞我们能想到布呢?我们实际上不能,我们为什么有些时候能,是因为譬如有人叫你“考虑降落伞的材料”,后者就激发了“降落伞之材料”这个语意,后者又指导了我们去考察降落伞的材料构成,于是我们想到是布。否则“布”是不会直接被激发起来的。那为什么在我们的这个问题中,一旦有人提到降落伞,我们就能建立从布到降落伞的关联呢?这是因为“降落伞”和“布”这两个语意单元的同时兴奋增大了它们之间关联的可能性,就好比是加大另一端的电压从而发生了“击穿”一样。

从本质上,解数学题也是如此,费马大定理的求解过程是一个很好的例子,谷山志村猜想,就相当于那个“降落伞”的提示。我们还听到很多这样的故事(或者自己经历):苦思冥想一个问题不得要领,某一天在路上走,看到某个东西或听到某句话,然后忽然,一道闪电划破长空,那个问题解开了(阿基米德是因为躺在浴缸里从而想到浮力原理的吗?)。我敢保证,如果一个人早就把那个问题从脑海里扔到九霄云外去了(不再处于兴奋状态了),那么就算线索出现,也是不可能发生顿悟的。我们都知道,带着一个问题(使其在大脑中处于兴奋状态)去寻找答案更可能找到,即便不是有意去寻找,只要问题还在脑子里,任何周围的有可能与它相关的线索都不会被大脑漏掉,因为“问题”和“周围的其他线索”同时的兴奋增大了关联的可能性。如果问题早就被从大脑(意识或者潜意识)中撤下了,即便周围出现提示也不会被捕捉到。

许多hard knowledge是不能被启发探索出来的。至少是不能被“直接命中目标”地探索出来的。一个问题有可能跟三角函数有关,也许你只能带着问题去探索三角函数的所有性质,从而最终发现那个关键的性质。费马大定理与椭圆方程有关,也许只能去探索椭圆方程的所有性质,这个过程一定程度上是盲目的,试错的,遍历的。而不是直接面向目标的。再聪明的人也无法从费马大定理直接反推到谷山志村猜想。在这些时候,启发式方法最多只能提供一个探索的大致方向:譬如,探索三角函数的性质,并随时注意其中哪个可能对我这个问题有帮助。譬如,探索模运算的性质,看看哪些性质可能会有用。譬如,探索椭圆曲线的性质…等等。启发式方法并不能使我们的探索精准地命中目标。而只能划定一个大致的范围。也难怪有人说数学是盲目的。

但话说回来,启发式方法的局限性并不能否认在大量场合启发式方法的巨大帮助,许多时候,单靠启发式方法就能带来突破。而且,一旦知识性的东西掌握的是clip_image011一样多的,能否运用更优秀的思维方法就决定了能力的高下。有很多介绍思维方法的书。

  1. 总结的意义

解题练习的最重要目的不是将特定的题目解出来,而是在于反思解题过程中的一般性的,跨问题的思维法则。 简单的将题目解出来(或者解不出来看答案,然后 “恍然大悟”),只能得到最少的东西,解出来固然能够强化导致解出来的那个思维过程和方法,但缺少反思的话便不能抽取出一般性的东西供更多的题目所用。而解不出来,看答案然后“哦”的一声更是等同于没有收获,因为“理解”和“运用”相差何止十万八千里。

1
每个人都有过这样的经历:一道题目苦思冥想不得要领,经某个人一指点其中的关键一步,顿时恍然大悟——这是理解。但这个理解是因为别人已经将新的知识(那个关键的一步)放到你脑子里了,故而你才能理解。而要运用的话,则需要自己去想出那关键的一步。因此,去揣测和总结别人的思维是如何触及那关键的一步,而你自己的思维又为什么触及不到它,有一些一般性的原则可以指导你下次也能想到那个“关键的一步”吗,是很有意义的。

我们很多时候会发现,一道题目,解不出来,最终在提示下面解出来之后,发现其中并没有用到任何自己不知道的知识,那么不仅就要问,既然那个知识是在脑子里的,为什么我们当时愣是提取不出来呢?而为什么别人又能够提取出来呢?我怎么才能像别人那样也提取出相应的知识呢?实际上这涉及到关于记忆的最深刻的clip_image012原理,实际上文中已经提到了一些。(有兴趣的建议参考以下几本书:《追寻记忆的痕迹》,《找寻逝去的自我》,《Synaptic Self》,《Psychology of Problem Solving》)一般性的思维法则除了对于辅助联想(起关键的知识)之外,另一个作用就是辅助演绎/归纳(助探),一开始学解题的时候,我们基本上是先读懂题目条件,做可能的一些显然的演绎。如果还没推到答案的话,基本就只能愣在那里等着那个关键的步骤从脑子里冒出来了。

而所谓的启发式思维方法,就是在这个时候可以运用一些一般性的,所有题目都适用的探索手法,进一步去探索问题中蕴含的知识,从而增大成功解题的可能性。启发式的思维方法有很多,从一般到特殊,最具一般性的,在波利亚的《How to Solve It》中已经基本全部都介绍了。一些更为特殊性的(譬如“如果全局搜索空间没有递归结构,那么考虑分割搜索空间”,譬如那些“看到XX,要想到YY”的联系),则需要自己在练习中不断抽象总结。

一句结尾

“我想我就在这里结束”——如果你知道我在说什么的话:-)

掌握解题能力,从容面对生活

作为一名科研工作者,解决问题是我最喜欢也相对擅长的事情,每天总要不断遭遇各种各样问题的挑战,不断思考、时时修正,问题进展顺利时情绪高涨、兴高采烈、信心百倍;进展不顺时垂头丧气、辗转反侧、痛苦煎熬(比如近来^^)。因此在阅读本书中我时不时产生强烈共鸣和惊叹。Polya是一位极为出色的老师,他完全理解学生们的想法和困难,谨慎地、不露痕迹的帮助指点;他就像一个经验丰富的向导,带领读者畅游在思考的森林中,时而稳健小步前行,时而跳跃大步飞奔。

这本书看似以指导解决数学问题为主线,“解题是一种实践性技能,我们可以通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能”。但事实上我们每天都需要解决各种生活中的问题,大到人生选择小到下棋对局。这里或许可以将解题拓展为解决问题的能力(洞察力、判断力、创造力、思维能力等)其实可以通过不断模仿和实践来提高。阅读此书时,我们只需要将注意力集中于Polya对思维的点拨上,跳过一些中学数学问题的解析,那么这些经验和智慧完全可以灵活运用于每日的生活中。

如何解决问题的核心步骤就在原书开始,借用MathBao的图片:http://www.douban.com/photos/photo/1691693211/。
解题的四个阶段:
1.我们必须理解该题目;必须清楚地看到所要求的是什么。(目标)
2.我们必须了解各个项目是如何相关的,未知量和数据之间有什么关系,已得到解题的思路,拟定一个方案。(计划)
3.我们执行我们的方案。(行动)
4.我们回顾所完成的解答,检查和讨论它。(总结反思)
全书的第二部分用几个问题生动具体展示了如何拓展思路、修正方案和回顾检查。

目标、专注:

  1. simplex sigillum veri. (拉丁语:简单性是真理的标志)
    2.记住你的目标,思考你想要的东西,记住你要寻求的。(书中的Polya像一个经验丰富的教练反复在耳边强调“观察未知量!”“观察结果!”)
    3.集中注意力于我们的目标,集中意志于我们的目的,我们就会想出达到它的方式和方法。达到目的的方法是什么?你怎样达到你的目的?你怎样才能得到这类结果?什么原因会产生这样一个结果?你在哪里看见过这样一个结果?为了得到这样一个结果,人们通常怎么办?
    4.获得真正成功的秘密就是要全身心地投入到题目中去。

分解和重组:
1.一个细节打动了你,于是你对它集中注意力;然后,你又去注意另一个细节;再以后,又是另外一个。细节的不同组合都可能会呈现出来,而且过了一会儿,你再一次整体的考虑这个对象,而现在你看待它的角度已经不同了,你把一个整体分解成它的各个部分,然后又把这些部分重组,使之成为一个与原来或多或少有些不同的整体。(细节和重组的转换)
2.如果你深入到细节中去,你就可能会在细节中迷失自我。过多过细的枝节对思维是一种负担。它们会阻碍你对要点投入足够的注意力,甚至会使你全然看不到要点。但困难在于,我们事先不可能说得出哪些细节最终会是必要的,那些又不会是。因此,首先我们得把题目作为一个整体来理解。在理解了题目以后,我们在判断哪些特定点可能是最重要的内容时,就占据了一个更为有利的位置。(判断主次,及时反馈)
3.将条件的不同部分分开:我们的首要职责是理解题目,在将条件作为一个整体理解了以后,我们将它的不同部分分开,并分别考虑它的每一个部分。(各个击破)

尝试、练习、坚持
1.学习怎样正确解题和解题技巧,并且通过试了错、错了再试的方法,通过失败和成功,通过在使用中获得经验,来学习它们。其次,你不要遵循某种刻板的习惯,不加选择地提出问题和做出建议。但如果你喜欢当一名迂夫,必须依赖于某条规则,请学习这一条:永远要先开动自己的脑筋。
2.解题的成功决定于正确的角度,决定于从容易接近的一侧来攻克要塞。
3.总而言之,在解答比较困难的、目标大的、一般化的问题时,我们利用不太困难的、目标较小的、特殊化的辅助题目作为一块垫脚石。
4.人的优势在于:在不能直接越过障碍时会绕过去,在原来的题目看上去不能解时会思考某道适当的辅助题目。
5.发明创造的规律,第一条是爱动脑筋和好运,第二条是锲而不舍直到产生一个好念头。

灵感、潜意识
1.始终跟着你的灵感走-但保持一点怀疑。
2.谋之于枕:把问题暂时放一下,次日你就有可能事半功倍。
3.自古以来,我们总把突然而来的好念头看成一种灵感,一种上帝的恩赐。你必须努力工作,或者至少有强烈的愿望求解题目,才配得到这种恩赐。(灵感来源于勤奋和专注)

决心、希望、成功
1.把解题作为是纯粹的“智力活动”是错误的,决心和情绪也起了很重要的作用。要解决一个重大的科学问题,只有靠毅力才能坚持长年累月的艰苦工作,忍受痛苦的挫折。科学家应该一开始就抱有某种希望,获得了某种成功再继续下去。在科学工作中,有必要根据展望来明智的调整决心。不要轻视那些小的成功,相反,你应该寻找它们。如果你不能解决所提的问题,先尝试去解某道有关的题目。
2.你的猜想可能是错误的,但这样的猜想通常至少会包含整个真理的一个片段,当然它们也很少会揭示全部的真理。然而,如果你对一个猜想进行适当的检验,那么你还是有机会提炼出完整的一个真理来。许多情况下,猜想结果被证明是错误的,但它对于启发一个更好的猜想还是有用的。除非我们不加甄别,否则,任何一个猜想都不会是没用的。根本没有想法那才是真正糟糕的。

初学者、专家、天才
1.未来的数学家,工作中最重要的一部分是回顾已完成的解。和其他每个人一样,通过模仿和实践来学习。他应该注意寻找正确的典范来模仿;应该觉察到一个能激励人心的教师;应该和一位能干的朋友竞赛。他不仅应该阅读通用的教材,还应阅读优秀作者的作品。(跟对人、找盟友)
2.未来的数学家应该是一个聪明的解题者,但仅仅做一个聪明的解题者是不够的。在适当的时候,他应该去解答重大的数学问题,而且首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪些类型的题目。(解决主要矛盾、了解自我)
3.有丰富知识的数学家比初学者更可能会有调动太多的只是和引入过于繁复的论证的危险。但是作为补偿,在领会结果中一个细微部分的重新解释,并继续和累积这样的小优势以最终重新改造整个结果方面,有经验的数学家却要比初学者处于更有利的位置。(积累优势、避免纠缠细节)
4.有天赋的作者,他们恰恰能够提出证明的萌芽、最简单形式的主要念头,并指出余下那些细节的性质。(抓核心、指方向)
5.标志可以引导我们的行动,然而标志也可能具有欺骗性。正确地解释标志需要经验。专家比没有经验的人知道更多的标志,而且更加熟悉;他最主要的优势也许就在于有这样的知识,而一个没有经验的人则什么都看不出来。具有超长天赋的人的主要优势也许在于他们有一种超常的心理感受力。由于具有极度灵敏的感受力,他能感觉到进展的细微标志,或者注意到这些标志的缺乏,而天资平庸的人则感觉不到一点差别。

其他:
1.格式的规则。第一条格式的规则是要有话可讲。第二条格式的规则是,当你碰巧有两件事要讲时,你要控制好自己,先讲第一件,再讲第二件,不要同时讲两件事。
2.教学的规则。第一条教学的规则是要知道你应该教什么。第二条教学的规则是要懂得比你应该教的东西多一点。
3.创造者悖论:越是宏大的计划,越有机会获得成功。越是宏大的计划,越有机会获得成功。较全面的定理可能更容易证明;较普遍的题目可能更容易解答。宏大的计划如果不是仅仅基于自负,而是基于观察了超越那些表面现象的东西,它就更有可能获得成功。
4.没有什么比看到发明的源泉更重要的了。就我看来,它比发明本身更有趣。——莱布尼茨
5.实际题目的未知量、已知数据和条件比较复杂,大量的数据常常是多余的,限定的也没那么清晰。通常我们不得不从一些相当含糊的想法开始,需要更多的经验,只能满足于得到一个近似解。

整本书妙语连珠,我特别将最精彩的一章“谚语的智慧”单独摘录为一篇日记:http://www.douban.com/note/321217294/。

最后,深深的感谢George Polya带我像哥伦布一样无边无际的大海中拨云见雾、勇敢向前、执着探索!

Trouble Obeys Eternal Law

2017-04-04 08:00:06

When you meet a trouble , solve it right now , otherwise , you will meet it in other occasions.

Basic Concept

Brain OS

Wikipedia

Program Skill

Java

Python

Android

Tensorflow

Useful Tool

English

Google

Git

Github

Hexo

Gradle

Atom

AndroidStudio

Visual Studio Code

Beyond Compare

Source Insight

Notepad++

English Words

Ordinary

Professional

Reference

Stackflow

CSDN

The illustrated guide to solving problem

解题就是 专注 + 试错,而有效的解题就是指 有选择的专注 + 有进展的试错。

数学解题能力本质上是一种什么样的能力?

具体说来,解题是一种智力活动,在这个活动中,解题者把自己的注意力完全投注在某个 看似有通路,但实际搞不清通路究竟长什么样子的 “问题黑盒子” 上面,反复尝试各种可以通过的方法,并且在试错的过程中,建立思维模型,直到最后把<问题黑盒子>内部的通路全面摸清楚,从而达到融会贯通的过程。但如果反复尝试过总是走不通,也不一定要一直跟问题死磕,可能需要反过来找出走不通的确凿证据或因果关系。

纯粹用文字解说太抽象。不妨借用一张讲解科学发现过程的信息图来促进大家的理解。

欢迎关注我的其它发布渠道