数学的本质不是算术，而是抽象思维。
罗胖精选 | “等号”里的数学思维
和你一起终身学习，这里是罗辑思维
今天的“罗胖精选”是来自于另外一个App叫「少年得到」，注意啊，不是「得到」，是「少年得到」，这个App你需要重新下载。也是上面的一个付费订阅专栏，林欣浩老师的《数学有意思》。
这课程研发出来之后，我推荐给我很多朋友听。他们听过之后，通常会有两个感慨。第一，数学课居然可以用音频上，不用写公式的。第二，我原来以为我是学过数学的，但现在才知道，原来我不懂什么是“数学思维”。我要把它推荐给我的，和我朋友的孩子。
好，我们接下来一起听一听，林欣浩老师是怎么讲解数学中非常基础的符号“等号”的。
摘自「少年得到」App《林欣浩·数学有意思》
数学有意思3:等号
你好，我是林欣浩。
今天我来跟你讲一下，等号这个概念是怎么来的。
在前面，我们讲过离散和连续的概念。人类在最早没有理性思维的时候，对这个世界的认识是混沌一团的，是模模糊糊的。后来，人类慢慢产生了理性思维，才会产生语言，才会产生思想。我们详细讲一下这个过程。
比如说有一只猴子，它没有理性思维，它的生活凭的就都是本能，它靠本能知道什么时候吃，什么时候睡。结果有一天，这只猴子进化了，变成猿人了，头脑中渐渐有了理性思维，开始去思考这个世界了。这个时候，他就要用理性的语言把思考的结果告诉自己的后代。
比如说他发现人生中有一个非常重要的事，苹果可以吃，石头不可以吃。那他就把他的孩子叫过来说，“你看，这是苹果，这能吃；这是石头，这可不能吃啊。”那个孩子点点头说，“啊，这个能吃，这个不能吃。”在这一瞬间里，这个小孩他的头脑中已经产生了一个非常重要的概念，叫做“比较”，或者叫“分辨”。
这个小孩之所以能够学到苹果可以吃的人生经验，前提是，他必须能分辨出什么是苹果，什么是石头。一个苹果，一个石头，这两个东西差不多大小，但是小孩拿过来一比，一个是红色的、是软的，一个是黑色的、是硬的，他比出来了，他才能知道哪个能吃，哪个不能吃。
也就是说，只有先比较出了不同，我们才能知道，这个东西和那个东西不一样，我们人类才能给这些东西命名，我们才能用语言去谈论它们。所以，我们可以说，比较是人类产生理性思维的一个前提。如果没有比较，东西和东西之间没有分别，那世界就还是连续的，还是模糊一团的。
前面我们说的是，比较这个概念是理性思维的基础。那我问你，比较又是在干什么？比较是在发现这两个东西之间的相同和不同，所以一旦有了比较的概念，就有了相同和不同的概念。
这个相同的概念非常重要，我们在前面说过，原始人在学会数水果之前，必须先把不同的水果给抽象成是一样的，这个抽象成是一样的，用我们现在的话说，就是通过比较，认为这些水果都是相同的，就相当于拥有了“相同”的概念。而相同的概念放到数学里面是什么呢？就是等于，所以，这里就诞生了“等于”的概念。
用一句话总结一下，我们刚才说的是，数学里的等号它不是凭空规定出来的，它是我们用比较的眼光去看待这个世界后，自然而然的结果。
我们现在知道了，等号是比较的结果。
但是这事还没那么简单，我们还得继续往深里想。我们在做比较这件事的时候，其实它还暗含了一个前提，叫做我们“比的是什么”。
我举一个例子，父母管教我们的时候，有一个口头禅，叫做别人家的孩子。有的父母会说：你看看别人家的孩子，学习比你好，还比你听话，你好好跟人家学学。我们听了就很不服，我们会说：那有什么了不起的，我打游戏还比他好呢，我踢球还比他好呢。父母就会说了，你就会拿这个跟人家比，你怎么不跟人家比比学习成绩呢？
在这里，我们跟父母争论的是什么呢？我们和父母都在拿我和别人家的孩子比，但是我们比的东西不同，父母比的是学习成绩，我们比的是打游戏，踢足球。
那你说在这里面，我们和父母谁错了呢？谁都没有错。这两种比法都是对的。因为我们每个人都有很多的属性，我们只是挑出了其中的一个去比较，我们比较的属性不同，得出的结论当然也是不同的。
好，那接下来的问题是，那到底应该挑哪个属性去比较呢？答案很简单，关键是我们打算通过比较去解决什么问题。
我们在谈论考试的时候，我们比的当然是学习成绩；我们在足球场上，比的当然是踢足球的水平。说白了，我们要比较的是关键属性。所以，人类在开始比较之前，还有一件事要做，就是决定哪些属性是关键的，是需要比较的；哪些属性不重要，不需要比较。
这就是我们和父母分歧的关键，我们是在和父母争论，我和别人家的孩子谁好吗？其实不是的。父母并不在乎你跟别人家的孩子谁好，谁在乎别人家的孩子呀？父母和你争论的其实是什么东西对你的自我评价最重要，是学习最重要，还是踢球最重要。
我们前面说了一大堆话，我总结一下，就是一句话，数学里的等号是来源于比较，而比较的前提是先确定哪些东西最重要。
所以，当我们在数学里面写下一个等号的时候，这一瞬间，我们其实做了一个非常重要的判断，我们在当众宣布，“我”认为哪个东西最重要。比如，当我们在纸上写上1+1=2的时候，这说明，我们关心的是数量，其它的属性我们不在乎。
就好像原始人在数苹果的时候，只关注苹果的数量，苹果的大小、颜色都不重要。在几何里，我们说，两个三角形全等。我们的意思是，我们只关注这两个三角形的大小和形状，它们在空间里的位置不重要。当我们学加法交换率的时候，说1+2=2+1，这意味着我们认为加法的数量结果重要，加法的先后顺序不重要。
所以可以说，数学里的等号其实有特别大的权力。当我们说两个数学量相等的时候，实际上就等于向所有接受这套数学规则的人宣布，从现在开始，我们就讨论这个因素，别的因素我们不讨论，因为它不重要。
好，总结一下，今天你学到了哪些关键知识点：
第一，理性思维的前提是比较，数学中的等号可以看成是比较的结果。
第二，数学里的等号非常重要，当我们说出两个东西相等的时候，已经暗含了一个重要的判断，判断什么东西对我们是重要的，什么不重要。这个判断的过程其实就是我们常说的抽象。
现在给你留一道思考题：我们刚才说，宣布两件事情相等是一个巨大的权力，这个权力不止存在于数学里，在我们的生活中也是一个巨大的权力。
比如在我们的眼里面，看漫画和看漫画是不一样的，有的漫画思想深刻，有的漫画很肤浅；玩游戏和玩游戏也不一样，有的游戏艺术价值非常高，有的游戏就很平庸。
可是在一些大人的眼里面，看漫画和玩游戏都一样，都叫做浪费时间，这些游戏和漫画之间是划等号的。这个等号的背后，其实包含了非常重要的价值判断，我们和父母的很多冲突都来自于这个等号。
在你的生活中，还能发现类似的例子吗？你可以把你的想法在文稿下面的留言区里留言。
下一集我们讲一个奇怪的概念，叫做无穷大。
好，感谢你的收听，我们下集再见。
来源:得到
没想到吧，我们居然做了数学课
2018-04-02 「少年得到」 罗辑思维
从去年7月开始，我们一直有个“秘密团队”在做一件事儿：
开发一个为7-15岁青少年提供学习服务的App——「少年得到」。
整整9个月，「少年得到」团队憋了个大招。
第一款重磅产品——《林欣浩·数学有意思》，终于能和你见面了。
数学特难学？
没法儿用音频讲明白？
不画图、不做题、不背公式，根本不可能？
我们偏不信，就是要做出一门完全不一样的数学课。
我们为什么有这个底气？
- 我们请了哲学作家讲数学。
数学的本质不是算术，而是抽象思维。
这正是哲学所擅长的。
哲学作家林欣浩，他写的《哲学家们都干了些什么》累积销量上百万。
他拍胸脯说，不用一张图表、一个算式，也能把数学讲明白。
- 知识点全部来自中小学课纲，不超纲。
我们邀请了全国特级教师，梳理教材核心知识点。
内容紧扣教纲，揭秘课堂不讲的“元认知”，
让孩子的数学弯道超车。
- 不刷题，就能帮孩子建立数学思维。
题海战术练的是对公式定理的“条件反射”，
林老师讲的是公式定理背后的思维方式。
不增加做题负担，孩子就能拿到思维工具。
认知更开阔，心态当然更傲娇。
不多说了，咱们直接上课表。
如果你的身边有孩子或家长，
拜托你帮个忙，
把这门好课推荐给他们。
数学的故事 The Story of Maths (2008)
数学的故事(The Story of Maths)随想
人类社会逐渐从自然届中抽象出数学的过程令人感动，本身认识到年月这些历法的知识就是一个奇迹，从埃及到巴比伦最后到希腊，毕达哥拉斯亚里士多德柏拉图阿基米德到欧几里得，都是奇迹，公理体系一旦建立，人类的意识水平都上升到一个高度了。
很向往巴比伦和希腊的那种态度，崇尚科学，让文明绽放。
无论是哪个人种，哪个文明，对科学都有类似的领悟能力，这和个体的领悟能力类似，非常的神奇。
越抽象，越接近本质，应用越广泛。
精确是不平凡的开始，牛顿利用数学这个工具来精确的描述物理世界的规律，取得了非凡的成就，类似的数学是万能的工具，在任何一个行业都是，缺少的是发现模式的心灵。
最强的数学家,思考的是还是存在的哲学问题,采用数学作为解释世界的工具而已(无论是数字的产生欧式几何代数数形结合实分析复分析变分还是非欧几何黎曼几何等).这是高斯黎曼这类人的高度.
人类历史上有几次系统的回顾，1900年的数学大会就是一个。
文明的发展，来自个体的思想突破，比如对无穷的理解，高维空间，相对论，量子力学，弦论。
每打开一扇门，就会收获许许多多的精神果实，比如对无穷的理解，比如伽利略的望远镜，比如Wolfram的元胞自动机。
之前我对纯数学感到绝望，一方面是社会原因，另一方面是没有看到背后深藏的精神动机，纯数学只是哲学思考的副产物。
康托的一生很惨淡，和许多其它穷困潦倒的数学家一样，思想超出这个时代，就要懂得等待和放弃，像高斯，自知之明的把非欧几何封藏起来。又想起柴同学的那句话，有些人，不值得付出生命来维护。
庞加莱针对n体问题的探索，简介导致了混沌的发现，一想到混沌，就感到无奈。
了解一门学科的未来，就要从这门学科的历史和现状入手。对待任何一个知识体系，都必须有这种意识。比如计算机科学，只有了解了动机，初生和逐步发展的过程，才能更好的理解现在的一切，才能更好的把握未来的发展动向，把有限的精力，投入到无尽的推动中去。
数学的故事是一个生动的数学史教材，把许多书上看到的文字和图片变成了实在的影响，这种真实淡化了数学的神秘，更贴近现实的生活。历史不仅仅是一个童话故事，每一个人都身在其中。
数学早已深入到生活之中，只是没有足够的修养和慧眼，无法看的到看的清而已。数学源自实际问题，得到更高级的抽象，用来作为解决更复杂实际问题的武器，拓扑学就是一个例子，从简单的七桥问题开始，欧拉启动了这次飞跃。提到拓扑学，就提到了庞加莱猜想，然后就提到了俄罗斯的传奇数学家佩尔曼，这个解决了百年难题却拒菲尔兹奖的奇才，就想到了，国人的闹剧。
找到佩尔曼和理解他的证明一样困难，很喜欢这句话，真正的数学家，就是要纯粹才能走的更远，中国的数学界，逐渐被感染的失去希望了。
希尔伯特是一个有雄心壮志的数学家，和牛顿欧几里得高斯类似，坚信通过自己的努力，可以解开一切谜题。We must know, we will know.而我没有这种信念和自信。
提到希尔伯特公理体系，就不得不提到哥德尔，提到不确定性，我至今仍有阅读其证明的兴趣。结合图灵停机问题，可计算性，混沌，自由意识，人工智能和决定论，无穷大和超越是一个迷人的论题。
哥德尔在获得最大突破之后，不久精神出了问题，就像牛顿晚年寄托与神学类似，即便是坚定的唯物论者，最终也不得不承认，无论是数学物理还是哲学，都不可能获得终极答案。这个身处的世界，归根结底，是不可知的。
“在奥地利和德国，数学即将死亡”，很喜欢这一句，我一直这么认为，即便是数学这种可能是柏拉图实在的理论体系，也不是永恒的。
希尔伯特和欧洲的主导地位和500年的世界数学中心，悲剧的离开了。想起希尔伯特的失落绝望和无奈，不禁一阵酸楚，眼眶湿润。
普林斯顿是特廷根的新生，在这里，数学也获得了重生，这是另一个辉煌的序幕。作为推动自由美国快速崛起的一个不可忽视的力量，虽然美国的自由不久之后再次被法西斯灵魂附体。
科恩对康托连续统假设的研究成果震撼了我一下，在所有人怀疑的时候，哥德尔投了赞成票，再然后，人们普遍的接受了，有两个不同的数学世界，同一个命题的真假可以是不同的。这是再一次的对数学本身的一次反省，就像对存在的反思。
不曾想，短短几十年，现代数学取得了许许多多令人惊叹的进展。
相比与中国，俄罗斯更盛产数学家，尤其是卓越的数学家，不知道是跟欧拉有直接的关系，许多近代的进展，都是在俄罗斯这里突破的。实际上，关键的是这里有一群绝顶聪明的人，有自由安静舒适的环境，能够把一生的精力奉献给数学，作为自己的信仰，如果中国有这种环境，怒放就只是时间问题了。
对近代数学史知之甚少，有必要补习一下了:)
迄今为止，数学依旧是探寻世界本质的最有力工具，正如毕达哥拉斯说信仰的，上帝使用数学创造了这个世界。到这里，我似乎有了一个感悟，对我所渴望的，有了更进一步的认识，并不是研究和推动数学，而是了解，借助这个工具来武装自己求索的心。
I must know, I will know.
数学家：奥数与数学研究
1981年出生的许晨阳是中国最好的数学家之一。他在2016年获得了数学领域的重要奖项拉马努金奖，2017年获得“未来科学大奖-数学与计算机科学奖”。在未来科学大奖的颁奖现场，许晨阳说，中国的奥数是世界一流水平，但数学研究并不是世界一流水平，世界一流水平仍然是美国、法国和俄罗斯这样的国家。
在许晨阳看来，学奥数就像练短跑一样，并不是每个人都需要练短跑。因此，奥数不见得是全民数学教育的基础一环。他认为，如果孩子不喜欢奥数，不一定非要强迫孩子去学。不过，家长一定要给孩子提供这个选择，因为奥数可以让喜欢数学、有数学天赋的孩子参加，并且互相交流。相比之下，数学研究更像是长跑甚至马拉松，它需要几代人的积累。因为历史上数学研究停止的原因，中国现在还不是世界一流水平。
许晨阳还解释了数学和未来的关系。许晨阳说：“数学跟未来关系很奇妙，数学有的时候像是人类在开拓未知边界，跟实际生活什么时候联系上，这是很难讲的事情。”他举了一个例子：1854年德国数学家黎曼提出了一种新的几何学理论黎曼几何，它在很长一段时间内只是数学理论。但是，等到1915年爱因斯坦发现广义相对论的时候，爱因斯坦发现，他需要的数学理论，正好是黎曼在60年前准备好的数学理论。爱因斯坦的强项不是数学，如果没有黎曼几何，可能就没有广义相对论。
总之，数学研究是在开拓人类未知的知识边界，而中国虽然奥数很强，但还不是数学研究的一流大国。